Géométrie birationnelle : classique et dérivée

par Sara Durighetto

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Marcello Bernardara et de Massimiliano Mella.


  • Résumé

    Dans le cadre de la géométrie algébrique, l'étude des transformations birationnelles et des leurs proprietés jouent un rôle déterminant. Ou bien par l'approche classique de l'école italienne qui met l'accent sur le groupe de Cremona, ou bien par une approche plus moderne qui utilise des objets comme les catégories dérivées et leurs décompositions semiorthogonales. Le groupe de Cremona Crn, notamment le groupe des automorphismes birationnels du Pn, est en general peu connu notamment on travaille principalement sur le corp complexe. On connait un ensemble des générateurs seulement pour n = 2. On ne connait pas une classification des courbes et systemes linéaires de P2 pour transformations de Cremona. Un exemple des résultats qu'il y a est la caractérisation de la contractibilité des courbes irreductibles et des courbes obtenues par union des deux components irreductibles. Le but de cette thèse est de s'approcher en cas d'une configuration de droites dans P2. Le théorème final fournit les conditions nécessaires ou suffisantes à la contractibilité. En termes catégoriels, les décompositions semiorthogonales de la catégorie dérivée d'une variété fournissent des invariants pour étudier la variété. En s'inspirant de l'approche de Clemens-Griffiths sur la cubique complexe en dimension 3, on veut caractériser les obstructions à la rationalité d'une variété de dimension n. L'idée est de pouvoir isoler les composantes qui ne sont pas équivalentes à la catégorie dérivée d'une variété de dimension au plus n - 2 et, de cette façon, définir ce que l'on appelle la composante de Griffiths-Kuznetsov. Dans cette thèse on étude le cas des surfaces sur un corps arbitraire, on définit de telles composantes et on démontre qu'elles donnent un invariant birationnel. On peut voir aussi que la composante de Griffiths-Kuznetsov est nulle si et seulement si la surface est rationnelle.

  • Titre traduit

    Classical and derived birational geometry


  • Résumé

    In the field of algebraic geometry, the study of birational transformations and their properties plays a primary role. In this, there are two different approach: the classical one due to the Italian school who focuses on the Cremona group and a modern one which utilizes instruments like derived categories and semiorthogonal decompositions. About the Cremona group, that is the group of birational self- morphisms of Pn, we do not know much in general and we focus on the complex case. We know a set of generators only in dimension n = 2. Moreover, we do not have a classification of curves and linear systems in P2 up to Cremona transformations. Among the known results there are: irreducible curves and curves with two irreducible components. In this thesis we approach tha case of a configuration of lines in the projective plane. The last theorem lists the known contractible configurations. From a categorical point of view, the semiorthogonal decompositions of the derived category of a variety provide some useful invariants in the study of the variety. Following the work of Clemens-Griffiths about the complex cubic threefold, we want to characterize the obstructions to the rationality of a variety X of dimension n. The idea is to collect the component of a semiorthogonal decomposition which are not equivalent to the derived category of a variety of dimension at least n - 1. In this way we defined the so called Griffiths-Kuznetsov component of X. In this thesis we study the case of surfaces on an arbitrary field, we define that component and show that it is a birational invariant. It appears clearly that the Griffiths-Kuznetsov component vanishes only if the surface is rational.


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2019 par Université Toulouse 3 à Toulouse

Géométrie birationnelle : classique et dérivée


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Informations

  • Sous le titre : Géométrie birationnelle : classique et dérivée
  • Détails : 1 vol. (67 p.)
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