Éléments finis hp adaptatifs avec contraction d’erreur garantie et solveurs multi-niveaux inexacts

Adaptative hp-finite elements with guaranteed error contraction and inexact multilevel solvers

• Auteur / Autrice : Patrik Daniel
• Direction : Martin Vohralík, Alexandre Ern
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 22/03/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche de Paris (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Roland Becker
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cindy Guichard, Frédéric Hecht, Dirk Praetorius
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Creusé, Thomas Wihler

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul d'erreur

Calcul adaptatif

Ellipses (mathématiques)

Éléments finis, Méthode des

Mots clés libres

Problème elliptique

Méthode des éléments finis

Adaptativité hp

Flux équilibré

Estimation d'erreur a posteriori

Erreur algébrique

Réduction d'erreur

Elliptical problem

Finite element method

Hp adaptability

Balanced flow

A posteriori error estimation

Algebraic error

Error reduction

Résumé

Nous proposons de nouveaux algorithmes de raffinement adaptatif pour l'approximation des problèmes elliptiques par la méthode des éléments finis hp. Nous considérons des solveurs algébriques exacts puis inexacts au sein du cadre générique des méthodes adaptatives consistant en quatre modules concaténés: RESOLUTION, ESTIMATION, MARQUAGE, RAFFINEMENT. Les stratégies reposent sur la construction d'estimateurs d'erreur a posteriori par flux équilibrés. Notamment, pour une approximation inexacte obtenue par un solveur algébrique itératif (arbitraire), nous prouvons une borne sur l'erreur totale ainsi que sur l'erreur algébrique et l'erreur de discrétisation. La structure hiérarchique des espaces d'éléments finis hp est cruciale pour obtenir la borne supérieure sur l'erreur algébrique, ce qui nous permet de formuler des critères d'arrêt précis pour le solveur algébrique. Notre critère de raffinement hp repose sur la résolution de deux problèmes résiduels locaux, posés sur les macro-éléments autour des sommets du maillage qui ont été marqués. Ces derniers sont sélectionnés par un critère de type bulk-chasing. Ceux deux problèmes résiduels imitent l'effet du raffinement h et p. Une caractéristique de notre approche est que nous obtenons une quantité calculable qui donne une borne garantie sur le rapport entre l'erreur d'énergie (inconnue) à la prochaine étape de la boucle adaptative et l'erreur actuelle (i.e. sur le facteur de réduction d'erreur). Des simulations numériques sont présentées afin de valider les stratégies adaptatives. Nous examinons la précision de notre borne sur le facteur de réduction d'erreur qui s'avère être excellente, avec des indices d'efficacité proches de 1. En pratique, nous observons des taux de convergence asymptotiquement exponentiels, aussi bien dans le cadre de la résolution algébrique exacte que dans celui de la résolution inexacte.Enfin, nous menons une analyse théorique des stratégies proposées.

We propose new practical adaptive refinement algorrithms for conforming hp-finite element approximations of elliptic problems. We consider the use of both exact and inexact solevsr within the established framework of adaptive methods consisting of four concatenated modules : SOLVE, ESTIMATE, MARK, REFINE. The strategies are driven by guaranteed equilibrated flux a posteriori error estimators. Namely, for an inexact approximation obtained by an (arbitrary) iterative algebraic solver, the bounds for the total, the algebraic, and the discretization errors are provided. Our hp-refinement criterion hinges on from solving two local residual problems posed on patches of elements around marked vertices selected by a bulk-chasing criterion. They respectively emulate h-refinement and p-refinement. One particular feature of energy error in the next adaptative loop step with respect to the present one. Numerical experiments are presented to turns out to be excellent, with effectivity indices close to the optimal value of one. In practice, we observe asymptomatic exponential convergence rates, in both the exact and inexact algebraic solver settings. Finally, we also provide a theoretical analysis of the proposed strategies.