Estimations fiables d'une fonction et de ses dérivées & Étude théorique et numérique d'un problème de « shape from shading »

Reliable estimations of a function and its derivatives & Theoretical and numerical study of a shape from shading problem

• Auteur / Autrice : Jean-Francois Abadie
• Direction : Yvon Maday
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/10/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Edwige Godlewski
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Didier Smets, Madalina Petcu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Gander, Bertrand Maury

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Schémas aux différences

Hamilton-Jacobi, Équations de

Fonctions différentiables

Mots clés libres

Fonctions différentiables

Bornes certifiées

Calculs en temps réel

Équations de Hamilton-Jacobi

Schémas aux différences finies

Problème de « shape from shading »

Differentiable functtioions

Certified bounds

Real time computations

Hamilton-Jacobi equations

FInite differences schemes

Shape from shading problem

Résumé

Les travaux présentés dans la première partie de ce manuscrit de thèse sont le fruit d’une collaboration entre Alstom et la RATP. Nous y présentons différents modèles et algorithmes permettant de borner une fonction réelle f définie sur un intervalle I et ses (d−1) premières dérivées à partir de bornes sur f en certains points et de bornes globales sur la dérivée d-ième de f. Nous appliquons cela à une situation inspirée du monde ferroviaire. Enfin, nous présentons diverses extensions de nos travaux,et nous montrons comment les résultats précédents peuvent se généraliser à des applications définies sur un intervalle I et à valeurs vectorielles. La seconde partie de ce manuscrit est consacrée à l’étude théorique et numérique d’un problème de « shape from shading », qui consiste à reconstituer une surface représentée sur une image en noir et blanc, par la seule connaissance des nuances de gris et d’altitudes en certains points. Nous y rappelons comment le cadre des solutions de viscosité permet d’obtenir une formulation mathématique bien posée de ce problème. Nous donnons ensuite une formulation explicite d’un schéma d’approximation associé à ce problème, et nous proposons une optimisation notable d’algorithmes permettant de résoudre numériquement un tel problème. À terme, l’ensemble des travaux présentés dans ce manuscrit pourraient être couplés pour permettre le guidage en temps réel de mobiles volants, tels que des drones, au dessus d’une région donnée.

The work presented in the first part of this thesis is the result of a collaboration between Alstom and the RATP. We present various models and algorithms that can be used to bound a real-valued function f defined on an interval I and its (d−1) first derivativesby knowingreliable boundson f in some discrete points and globalboundson its dth derivative. These results are applied to a situation inspired by the railway world. Finally, we present various extensions of our work, and we explain how the previous models can be easily generalized to vector-valuedapplications defined on an interval. The second part of this thesis is dedicated to the theoretical and numerical study of a shape from shading problem, which consists in a surface reconstitution from a black and white picture, by knowing only the shades of gray and the altitude of the surface at some points. We remind how the viscosity solutions framework allows us to obtain a well-posed formulation of this problem. Then we expose an explicit expression of an approximation scheme associated to this problem, and we propose a significant optimization of some algorithmsused to solve numerically such a problem. In the future, the works presented in the two parts of the thesis could be coupled to allow a real-time guidance of flying objects like drones overa given region.