Integration by parts formulae for the laws of Bessel bridges, and Bessel stochastic PDEs

par Henri Elad Altman

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Lorenzo Zambotti.

Le président du jury était Thomas Duquesne.

Le jury était composé de Paul Gassiat, Massimiliano Gubinelli, Martin Hairer.

Les rapporteurs étaient Arnaud Debussche, Tadahisa Funaki.

  • Titre traduit

    Formules d'intégration par parties pour les lois des ponts de Bessel, et EDP stochastiques associées


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous obtenons des formules d’intégration par parties pour les lois de ponts de Bessel de dimension δ > 0, étendant ainsi les formules précédemment obtenues par Zambotti dans le cas δ ≥ 3. Ceci nous permet d’identifier la structure de certaines EDP stochastiques (EDPS) ayant la loi d’un pont de Bessel de dimension δ ∈ (0, 3) pour mesure invariante, et qui étendent de manière naturelle les EDPS considérées précédemment par Zambotti dans le cas δ ≥ 3. Nous nommons ces équations EDPS de Bessel, et les écrivons à l’aide de temps locaux renormalisés. Dans les cas particuliers δ = 1, 2, en utilisant la théorie des formes de Dirichlet, nous construisons une solution d’une version faible de ces EDPS. Nous prouvons également plusieurs résultats partiels qui suggèrent que les EDPS de Bessel de paramètre δ < 3 possèdent certaines propriétés importantes: propriété de Feller forte, existence de temps locaux. Enfin, nous considérons différents modèles de pinning critiques dynamiques, discret et continu, et prouvons un résultat de tension. Nous conjecturons que ces modèles ont une même limite en loi décrite par l’EDPS de Bessel associée à δ = 1.


  • Résumé

    In this thesis, we derive integration by parts formulae (IbPF) for the laws of Bessel bridges of dimension δ > 0, thus extending previous formulae obtained by Zambotti in the case δ ≥ 3. This allows us to identify the structure of some stochastic PDEs (SPDEs) having the law of a Bessel bridge of dimension δ < 3 as invariant measure, and which extend in a natural way the family of SPDEs previously considered by Zambotti for δ ≥ 3. We call these equations Bessel SPDEs, and write them using renormalized local times. In the particular cases δ = 1, 2, using Dirichlet forms, we construct a solution to a weak version of these SPDEs. We also provide several partial results suggesting that the SPDEs associated with δ < 3 should have several important properties: strong Feller property, existence of local times. Finally, we consider dynamical critical wetting models, in the discrete and in the continuum, and prove a tightness result. We conjecture that these models have a common limit in law which should be described by the Bessel SPDE associated with δ = 1.


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