Méthodes numériques stochastiques pour les Processus de Markov Déterministes par Morceaux : applications en Neuroscience

Stochastic numerical methods for Piecewise Deterministic Markov Processes : applications in Neuroscience

• Auteur / Autrice : Nicolas Thomas
• Direction : Michèle Thieullen, Vincent Lemaire
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 20/06/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Evelyn Buckwar
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Benjamin Jourdain, Gilles Pagès
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Evelyn Buckwar, Fabien Campillo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Neurosciences

Markov, Processus de

Monte-Carlo, Méthode de

Processus stochastiques

Mots clés libres

Processus (de Markov) déterministes par morceaux

Thinning

Simulation exacte

Estimée d'erreur forte

Développement d'erreur faible

Multilevel Monte Carlo

Hodgkin-Huxley

Morris-Lecar

Piecewise deterministic (Markov) process

Thinning

Exact simulation

Strong error estimate

Weak error expansion

Multilevel Monte Carlo

Hodgkin-Huxley

Morris-Lecar

Résumé

Dans cette thèse, motivés par des applications en Neuroscience, nous étudions des méthodes efficaces de type Monte Carlo (MC) et Multilevel Monte Carlo (MLMC) basées sur le thinning pour des processus (de Markov) déterministe par morceaux (PDMP ou PDP) que l'on appliquent à des modèles à conductance. D'une part, lorsque la trajectoire déterministe du PDMP est connue explicitement nous aboutissons à une simulation exacte. D'autre part, lorsque la trajectoire déterministe du PDMP n'est pas explicite, nous établissons des estimées d'erreurs forte et un développement de l'erreur faible pour le schéma numérique que nous introduisons. La méthode de thinning est fondamentale dans cette thèse. Outre le fait que cette méthode est intuitive, nous l'utilisons à la fois numériquement (pour simuler les trajectoires de PDMP/PDP) et théoriquement (pour construire les instants de saut et établir des estimées d'erreurs pour les PDMP/PDP).

In this thesis, motivated by applications in Neuroscience, we study efficient Monte Carlo (MC) and Multilevel Monte Carlo (MLMC) methods based on the thinning for piecewise deterministic (Markov) processes (PDMP or PDP) that we apply to stochastic conductance-based models. On the one hand, when the deterministic motion of the PDMP is explicitly known we end up with an exact simulation. On the other hand, when the deterministic motion is not explicit, we establish strong estimates and a weak error expansion for the numerical scheme that we introduce. The thinning method is fundamental in this thesis. Beside the fact that it is intuitive, we use it both numerically (to simulate trajectories of PDMP/PDP) and theoretically (to construct the jump times and establish error estimates for PDMP/PDP).