Équations de réaction-diffusion, propriétés qualitatives et dynamique des populations

par Samuel Nordmann

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Henri Berestycki.

Le président du jury était Fabrice Bethuel.

Le jury était composé de Isabeau Birindelli, Laurent Desvillettes, Marie Doumic, Sepideh Mirrahimi.

Les rapporteurs étaient Xavier Cabré, Emmanuel Grenier.


  • Résumé

    Nous nous intéressons à certains problèmes issus des équations de réaction-diffusion et de leur application à la dynamique des populations. La première partie traite des solutions stationnaires stables des équations de réaction-diffusion. Nous nous intéressons en particulier à l'influence de la géométrie du domaine sur l'existence de solutions stables non-constantes, appelées patterns. Nous établissons un critère de non-existence de patterns pour des domaines généraux. Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons à un modèle Hamilton-Jacobi pour la théorie de l'évolution darwinienne. Notre modèle présente un phénomène de concentration, c'est-à-dire que la population converge vers une masse de Dirac quand un paramètre d'échelle tend vers 0. Nous étudions le cas d'une population structurée en âge et en phénotype, soumise à une compétition entre individus. Dans un deuxième temps, nous ajoutons l'effet de mutations. Nous considérons également un modèle faisant intervenir un phénomène de sauvetage évolutif, dans lequel la population peut avoir une dynamique cyclique. La troisième partie est consacrée à l'étude de systèmes d'équations de réaction-diffusion. Notre cadre contient le modèle d'épidémiologie SI, et étend certaines propriétés classiques à une classe plus large. Enfin, nous proposerons un modèle pour rendre compte de la dynamique des émeutes et de l'agitation sociale.

  • Titre traduit

    Reaction-diffusion equations, qualitative properties and population dynamics


  • Résumé

    We are interested in some problems arising in reaction-diffusion equations and their application to population dynamics. The first part deals with stable stationary solutions of reaction-diffusion equations. More precisely, our aim is to understand the influence of the geometry of the domain on the existence of stable non-constant solutions, called patterns. We establish a criterion for the non-existence of patterns in general domains. In the second part, we address a Hamilton-Jacobi model for Darwin's theory of evolution. This models features a concentration phenomenon, that is, the solution converges to a Dirac mass when a rescaling parameters goes to 0. We study the case of a population structured by age and phenotype, subject to competition between individuals. In a second step, we add the effect of mutations. We also consider a model which features a phenomenon of evolutionary rescue, in which the population can have cyclic dynamics. The third part is devoted to the study of systems of reaction-diffusion equations. Our framework encompasses the epidemiological SI model, and extends some results to a broader class. Finally, we propose a model to account for the dynamics of riots and social unrest.


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