Formulations variationnelles d'équations de Maxwell résonantes et problèmes aux coins en propagation d'ondes

Variational formulations for resonant Maxwell's equations and problems at corners for wave propagation

• Auteur / Autrice : Anouk Nicolopoulos-Salle
• Direction : Bruno Després, Martin, Jean Campos Pinto
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 09/12/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : François Alouges
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anne-Laure Dalibard Roux, Francesca Rapetti
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Ralf Hiptmair

Mots clés

Mots clés contrôlés

Plasmas chauds

Équations différentielles dégénérées

Problèmes aux limites -- Solutions numériques

Viscosité

Décomposition de domaines (mathématiques)

Maxwell, Équations de -- Solutions numériques

Mots clés libres

Électromagnetisme

Solutions singulières

Solutions manufacturées

Équations elliptiques dégénérées

Méthode de décompoition de domaine

Conditions aux bords absorbants

Helmholtz

Maxwell

Plasma heating

Upper hybrid resonance

Degenerate elliptic

Mixed variational formulations

Résumé

Dans une 1ere partie, on construit des formulations variationnelles associées aux équations de Maxwell résonantes. Les équations dégénèrent dans le domaine, entraînant la non-unicité et la singularité des solutions. L’ajout de viscosité permet de les désingulariser, et par un procédé d’absorption limite, lorsque ce paramètre de viscosité tend vers zéro, on identifie la solution physique. Mais la dégénérescence sépare le problème à la limite en deux équations sur des domaines différents couplées par leur interface, le long de laquelle les solutions explosent. Ce travail caractérise la solution limite de manière explicite comme solution d’une formulation bien posée, ce qui permet d’approcher numériquement la solution physique des équations de Maxwell résonantes. L’étude est motivée par la modélisation de résonances hybrides dans un plasma de fusion. Une 2nde partie concerne les méthodes numériques de décomposition de domaine (DDM). En présence de coins et de points de croisement, lorsqu’on utilise un mailleur automatique par exemple, il est nécessaire de traiter ces points pour obtenir des conditions d’absorption (ABC) ou de transmission (TC) d’ordre supérieur à 1. Nous définissons des ABC d’ordre 2 pour l’équation de Helmholtz sur un domaine à coins, avec en vue des TC traitant les points de croisement. Chaque algorithme présenté est lié à une énergie décroissante et converge.

In 1st part, variational formulations associated with resonant Maxwell equations are constructed. The equations degenerate in the domain, leading to the non-unicity and singularity of the solutions. Adding viscosity desingularizes the equations, and a limiting absorption process, when this viscosity parameter goes to zero, allows to identify the physical solution. The degeneracy separates the problem at the limit into two equations on different domains coupled by their interface, along which the solutions blow up. This work explicitly characterizes the limit solution as a solution of a well-posed formulation, which allows the numerical approximation of the physical solution to the resonant Maxwell equations. The study is motivated by the modeling of hybrid resonances in fusion plasma. A 2nd part concerns numerical domain decomposition methods (DDM). In the presence of corners and cross points, when using an automatic mesher for example, it is necessary to treat these points to obtain absorption (ABC) or transmission (TC) conditions of order higher than 1. We define ABCs of order 2 for the Helmholtz equation on a polygonal domain, with the further intention of deriving TCs treating cross points. Each algorithm presented is endowed with a decreasing energy and is convergent.