Cohomologie des fibrés en droites sur SL3/B en caractéristique positive : deux filtrations et conséquences

Cohomology of line bundles on SL3/B in positive characteristic : two filtrations and consequences

• Auteur / Autrice : Linyuan Liu
• Direction : Patrick Polo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/06/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : François Loeser
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anna Cadoret, Caroline Gruson, Wolfgang Soergel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Simon Riche, Geordie Williamson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes algébriques

Fibrés vectoriels

De Rham, Cohomologie de

Variétés de drapeaux (géométrie)

Mots clés libres

Variété de drapeaux

Cohomologie

Fibrés en droites

Groupes algébriques semi-simples

Caractéristique positive

Théorie des représentations

Flag variety

Cohomology

Line bundles

Semi-Simple algebraic groups

Positive characteristic

Representation theory

Résumé

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cette thèse, on se concentre sur G = SL3. Dans le premier chapitre,on montre l’existence d’une filtration à deux étages de H1(μ) et H2(μ) pour μ dans l’adhérence de la région de Griffith. Dans le deuxième chapitre, on montre l’existence d’une p-Hi-D-filtration de Hi(μ) pour tout i et μ, qui généralise la p filtration de H0(μ) introduite par Jantzen. Dans le troisième chapitre, on étudie et détermine la structure des modules apparaissants dans la p-Hi-D-filtration.Dans le dernier chapitre, on donne une description explicite et combinatoire de H2(μ) pour μ dans la région de Griffith et on généralise cette description à Hd(G/B, μ) pour G = SLd+1 et certains poids μ.

Let G be a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. The cohomology of G-equivariant line bundles over G/B induced by a character of B are important objects in the representation theory of G. In this thesis, we concentrate on G = SL3. In the first chapter,we prove the existence of a two-step filtration of H1(μ) and H2(μ) when μ is in the closure of the Griffith region. In the second chapter, we prove the existence ofa p-Hi-D-filtration of Hi(μ) for all i and μ, which generalizes the p-filtration ofH0(μ) introduced by Jantzen. In the third chapter, we study and determine the structure of the modules appearing in the p-Hi-D-filtration. In the last chapter,we give an explicit and combinatorial description of H2(μ) for μ in the Griffith region and we generalize this description to Hd(G/B, μ) for G = SLd+1 and certain weights μ.