Résolution rapide de systèmes linéaires creux avec choix adaptatif de préconditionneurs

Fast solution of sparse linear systems with adaptive choice of preconditioners

• Auteur / Autrice : Zakariae Jorti
• Direction : Laura Grigori
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 03/10/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Hecht
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ani Sedrakian Malhami, Nahid Emad Petiton, Xavier Vasseur, Soleiman Yousef
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Damien Tromeur-Dervout, Olaf Schenk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul adaptatif

Décomposition de domaines (mathématiques)

Équations aux dérivées partielles

Méthodes de sous-espaces de Krylov

Mots clés libres

Préconditionnement

Estimateurs d'erreur

Résolution itérative

Décomposition de domaine

Calcul adaptatif

Preconditioning

Error estimates

Adaptivity

Résumé

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'utilisation de méthodes de Krylov préconditionnées de façon adaptative dans des applications qui peuvent être modélisées par des équations aux dérivées partielles. Pour ces méthodes, le préconditionnement est souvent indispensable pour résoudre efficacement des systèmes d'équations creux et de grande taille. Toutefois, un préconditionneur donné ne peut être optimal pour tous les usages, compte tenu des caractéristiques changeantes de l'opérateur linéarisé. Cette thèse aborde les types de préconditionneurs et méthodes de résolution qui peuvent s'adapter à la complexité des systèmes linéaires en se basant sur des estimateurs d'erreur a posteriori. Dans un premier temps, nous proposons des stratégies adaptatives globales et locales fondées sur l'estimation a posteriori d'erreur et un préconditionneur hybride block-jacobi et ILU(0). Dans un second temps, l’estimation d’erreur a posteriori est utilisée pour partitionner le préconditionneur, et une approche type complément de Schur est utilisée pour le préconditionnement du bloc avec une forte erreur. Puis, nous introduisons une variante de cette dernière approche qui utilise des approximations de bas rang pour remplacer les factorisations exactes, qui sont parfois très coûteuses à calculer. Par la suite, nous définissons un préconditionneur adaptatif fondé sur l'estimation d'erreur a posteriori permettant de contrôler la norme de l'erreur algébrique locale. Enfin, nous prouvons l'efficacité de ces stratégies adaptatives sur des exemples de simulation de réservoir en 2D pour milieux poreux hétérogènes.

This thesis analyzes the use of adaptive preconditioned Krylov methods in applications which can be modeled by partial differential equations. Preconditioning is generally essential for efficiently solving large sparse nonlinear systems of equations. However, the optimality of the available preconditioners is not guaranteed for all uses due to the changing nature of the linearized operator. This thesis explores some types of preconditioners and solve procedures that can adapt to the complexity of linear systems using information from a posteriori error estimates. First, we propose global and local adaptive strategies based on a posteriori error estimation and a hybrid block-jacobi and ILU(0) preconditioner. Second, the a posteriori error estimation is used to partition the matrix, and a Schur complement-based approach is used for the preconditioning of the block with a high error. Then, we introduce a variant of this latter approach which replaces the costly exact factorizations by low-rank approximations. We also define an adaptive preconditioner based on a posteriori error estimation that allows to control a local algebraic error norm. Finally, we prove the efficiency of our adaptive strategies on two-dimensional reservoir simulation examples for heterogeneous porous media.