Algorithms for sparse polynomial systems : Gröbner bases and resultants

par Matias Rafael Bender

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Charles Faugère et de Elias Tsigaridas.

Soutenue le 03-06-2019

à Sorbonne université , dans le cadre de École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris , en partenariat avec LIP6 (1997-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Bernard Mourrain.

Le jury était composé de Laurent Busé, Stef Graillat, Gilles Villard.

Les rapporteurs étaient Agnès Szántó, Carlos D'Andrea.

mots clés

• Résolution de systèmes polynomiaux
• Systèmes polynomiaux creux
• Systèmes multi-homogènes
• Résultant
• Base de Gröbner
• Décomposition du tenseur
• Polynômes
• Gröbner, Bases de
• Calcul formel

Titre traduit

Algorithmes pour les systèmes polynomiaux creux : bases de Gröbner et résultants

Résumé

La résolution de systèmes polynomiaux est l’un des problèmes les plus anciens et importants en mathématiques informatiques et a des applications dans plusieurs domaines des sciences et de l’ingénierie. C'est un problème intrinsèquement difficile avec une complexité au moins exponentielle du nombre de variables. Cependant, dans la plupart des cas, les systèmes polynomiaux issus d'applications ont une structure quelconque. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l'exploitation de la structure liée à la faible densité des supports des polynômes; c'est-à-dire que nous exploitons le fait que les polynômes n'ont que quelques monômes à coefficients non nuls. Notre objectif est de résoudre les systèmes plus rapidement que les estimations les plus défavorables, qui supposent que tous les termes sont présents. Nous disons qu'un système creux est non mixte si tous ses polynômes ont le même polytope de Newton, et mixte autrement. La plupart des travaux sur la résolution de systèmes creux concernent le cas non mixte, à l'exception des résultants creux et des méthodes d'homotopie. Nous développons des algorithmes pour des systèmes mixtes. Nous utilisons les résultantes creux et les bases de Groebner. Nous travaillons sur chaque théorie indépendamment, mais nous les combinons également: nous tirons parti des propriétés algébriques des systèmes associés à une résultante non nulle pour améliorer la complexité du calcul de leurs bases de Groebner; par exemple, nous exploitons l’exactitude du complexe de Koszul pour déduire un critère d’arrêt précoce et éviter tout les réductions à zéro. De plus, nous développons des algorithmes quasi-optimaux pour décomposer des formes binaires.

mots clés

• Solving polynomial systems
• Sparse polynomial systems
• Multi-homogenous systems
• Resultant
• Groebner base
• Tensor decomposition

Résumé

Solving polynomial systems is one of the oldest and most important problems in computational mathematics and has many applications in several domains of science and engineering. It is an intrinsically hard problem with complexity at least single exponential in the number of variables. However, in most of the cases, the polynomial systems coming from applications have some kind of structure. In this thesis we focus on exploiting the structure related to the sparsity of the supports of the polynomials; that is, we exploit the fact that the polynomials only have a few monomials with non-zero coefficients. Our objective is to solve the systems faster than the worst case estimates that assume that all the terms are present. We say that a sparse system is unmixed if all its polynomials have the same Newton polytope, and mixed otherwise. Most of the work on solving sparse systems concern the unmixed case, with the exceptions of mixed sparse resultants and homotopy methods. In this thesis, we develop algorithms for mixed systems. We use two prominent tools in nonlinear algebra: sparse resultants and Groebner bases. We work on each theory independently, but we also combine them to introduce new algorithms: we take advantage of the algebraic properties of the systems associated to a non-vanishing resultant to improve the complexity of computing their Groebner bases; for example, we exploit the exactness of some strands of the associated Koszul complex to deduce an early stopping criterion for our Groebner bases algorithms and to avoid every redundant computation (reductions to zero). In addition, we introduce quasi-optimal algorithms to decompose binary forms.