Sur l'utilisation de méthodes d'échantillonnages et des signatures spectrales pour la résolution de problèmes inverses en diffraction

On the use of sampling methods and spectral signatures to identify defects in inhomogeneous media

• Auteur / Autrice : Kevish Napal
• Direction : Houssem Haddar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Josselin Garnier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Houssem Haddar, Marion Darbas, Guanghui Hu, Laurent Bourgeois, Maya de Buhan, Michel Kern
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marion Darbas, Guanghui Hu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Diffraction

Spectroscopie

Analyse numérique

Physique mathématique

Équations aux dérivées partielles

Mathématiques

Mots clés libres

Analyse spectrale

Problèmes inverses

Analyse fonctionnelle

Analyse numérique

Diffraction

Spectral analysis

Inverse problems

Functional analysis

Numerical analysis

Scattering theory

Résumé

Cette thèse est une contribution aux problèmes inverses en diffraction acoustique. Nous nous intéressons plus précisément au contrôle non destructif de matériaux hétérogènes tels que les matériaux composites. Surveiller l'état de ce type de matériaux en milieu industriel présente un enjeu majeur. Cependant leurs structures complexes rendent cette tâche difficile. Les méthodes dites d'échantillonnage semblent très prometteuses pour répondre à cette problématique. Nous développons ces techniques pour détecter l'apparition de défauts à partir de données de champs lointains. Les défauts considérés sont des obstacles impénétrables de type Neumann. Nous en distinguons deux catégories qui nécessitent chacune un traitement particulier : les fissures et les obstacles d'intérieur non vide.Grâce à deux factorisations complémentaires de l'opérateur de champ lointain que nous établissons, nous montrons qu'il est possible d'approcher la solution du Problème de Transmission Intérieur (PTI) à partir des données. Le PTI est un système d'équations différentielles qui met en jeu les paramètres physiques du matériau sondé. Nous montrons qu'il est alors possible de détecter une anomalie en comparant les solutions de deux PTI différents, l'un associé aux mesures faites avant l'apparition du défaut et l'autre associé aux mesures faites après. La validité de la méthode décrite nécessite d'éviter des fréquences particulières correspondant au spectre du PTI pour lequel ce problème est mal posé. Nous montrons que ce spectre est un ensemble infini, dénombrable et sans point fini d'accumulation.Dans le dernier chapitre, nous utilisons la notion récente de milieux artificiels pour imager des réseaux de fissures au sein d'un milieu homogène. Cette approche permet le design du problème de transmission intérieur par le choix du milieu artificiel, par exemple composé d'obstacle impénétrables. Le spectre associé est alors sensible à la présence de fissures à l'intérieur de l'obstacle artificiel. Ceci permet de quantifier localement la densité de fissure. Cependant, le calcul du spectre nécessite des données pour un intervalle de fréquence et est très coûteux en temps de calcul. Nous proposons une alternative n'utilisant qu'une seule fréquence et qui consiste à travailler avec les solutions du PTI plutôt qu'avec son spectre.

This thesis is a contribution to inverse scattering theory. We are more specifically interested in the non-destructive testing of heterogeneous materials such as composite materials by using acoustic waves. Monitoring this type of materials in an industrial environment is of major importance, but their complex structure makes this task difficult. The so-called sampling methods seem very promising to address this issue. We develop these techniques to detect the appearance of defects from far field data. The defects considered are impenetrable Neumann obstacles. We distinguish two categories of them, each requiring a specific treatment: cracks and obstacles with non empty interior.Thanks to the two complementary factorizations of the far field operator that we establish, we show that it is possible to approach the solution of the Interior Transmission Problem (ITP) from the data. The ITP is a system of partial differential equations that takes into account the physical parameters of the material being surveyed. We show that it is then possible to detect an anomaly by comparing the solutions of two different ITPs, one associated with measurements made before the defect appeared and the other one associated with measurements made after. The validity of the described method requires avoiding particular frequencies, which are the elements of the ITP spectrum for which this problem is not well posed. We show that this spectrum is an infinite set, countable and without finite accumulation points.In the last chapter, we use the recent notion of artificial backgrounds to image crack networks embedded in a homogeneous background. This approach allows us to design a transmission problem with the choice of the artificial background, for instance made of an obstacle. The associated spectrum is then sensitive to the presence of cracks inside the artificial obstacle. This allows to quantify locally the crack density. However, the computation of the spectrum requires data at several frequencies and is expensive in terms of calculations. We propose an alternative method using only data at fixed frequency and which consists in working with the solutions of the ITP instead of it's spectrum.