Thèse soutenue

Régression parcimonieuse en grande dimension en présence de bruit coloré hétéroscédastique : application à la localisation de sources M/EEG

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Auteur / Autrice : Mathurin Massias
Direction : Joseph SalmonAlexandre Gramfort
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et Informatique
Date : Soutenance le 04/12/2019
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Télécom Paris (Palaiseau, Essonne ; 1878-....)
Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....)
Jury : Président / Présidente : Gabriel Peyré
Examinateurs / Examinatrices : Nelly Pustelnik, Olivier Fercoq, Julien Mairal
Rapporteurs / Rapporteuses : Mark Schmidt

Résumé

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Parmi les techniques d’imagerie cerébrale, la magneto- et l’électro-encéphalographie se distinguent pour leur faible degré d’invasivité et leur excellente résolution temporelle. La reconstruction de l’activité neuronale à partir de l’enregistrement des champs électriques et magnétiques constitue un problème inverse extr êmement mal posé, auquel il est nécessaire d’ajouter des contraintes pour le résoudre. Une approche populaire, empruntée dans ce manuscrit, est de postuler que la solution est parcimonieuse spatialement, ce qui peut s’obtenir par une pénalisation L2/1. Cependant, ce type de régularisation nécessite de résoudre des problèmes d’optimisation non-lisses en grande dimension, avec des méthodes itératives dont la performance se dégrade avec la dimension. De plus, les enregistrements M/EEG sont typiquement corrompus par un fort bruit coloré, allant à l’encontre des hypothèses classiques de résolution des problèmes inverses. Dans cette thèse, nous proposons d’abord une accélération des algorithmes itératifs utilisés pour résoudre le problème bio-magnétique avec régularisation L2/1. Les améliorations classiques (règles de filtrage et ensemble actifs), tirent parti de la parcimonie de la solution: elles ignorent les sources cérébrales inactives, et réduisent ainsi la dimension du problème. Nous introduisons une nouvelle technique d’ensemble actifs, reposant sur les règles de filtrage les plus performantes actuellement. Nous proposons des techniques duales avancées, qui permettent un contrôle plus fin de l’optimalité et améliorent les techniques d’identification de prédicteurs. Notre construction duale extrapole la structure Vectorielle Autoregressive des iterés duaux, régularité que nous relions aux propriétés d’identification de support des algorithmes proximaux. En plus du problème inverse bio-magnétique, l’approche proposée est appliquée à l’ensemble des modèles linéaires g énéralisés r égularisés L1. Deuxièmement, nous introduisons de nouveaux estimateurs concomitants pour la régression multitâche, conçus pour traiter du bruit gaussien correlé. Le probleme d’optimisation sous-jacent est convexe, et présente une structure “lisse + proximable” attrayante ; nous lions la formulation de ce problème au lissage des normes de Schatten.