Ergodicité stable et mesures physiques pour des systèmes dynamiques faiblement hyperboliques

Stable ergodicity and physical measures for weakly hyperbolic dynamical systems

• Auteur / Autrice : Davi dos Anjos Obata
• Direction : Sylvain Crovisier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 17/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Jérôme Buzzi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvain Crovisier, Jérôme Buzzi, François Ledrappier, Alexander Arbieto, Pierre Berger
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : François Ledrappier, Federico Juan Rodríguez Hertz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chaos (théorie des systèmes)

Systèmes dynamiques hyperboliques

Théorie ergodique

Mots clés libres

Stabilité ergodique

Exposants de Lyapunov

Mesures SRB hyperboliques

Mesures u-Gibbs

Hyperbolicité partielle

Décomposition dominée

Mesures physiques

Stable ergodicity

Lyapunov exponents

Hyperbolic SRB measures

U-Gibbs measures

Partial hyperbolicity

Dominated splitting

Physical measures

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les sujets suivants :- la stabilité ergodique pour les systèmes conservatifs ;- la généricité de l'existence d'exposants positifs pour certains produits tordus avec fibres de dimension deux ;- rigidité des mesures u-Gibbs pour certains systèmes partiellement hyperboliques ;- la transitivité robuste. Nous donnons une preuve de la stabilité ergodique pour certains systèmes partiellement hyperboliques sans utiliser l'accessibilité. Ces systèmes ont été introduits par Pierre Berger et Pablo Carrasco, et ils ont les propriétés suivantes : ils possèdent une direction centrale bidimensionnelle ; ils sont non-uniformément hyperboliques avec un exposant positif et un exposant négatif le long de la direction centrale pour presque tout point, et la décomposition d'Oseledets n'est pas dominée.Dans un autre travail, nous donnons des critères de stabilité ergodique pour des systèmes ayant une décomposition dominée. En particulier, nous explorons la notion d'hyperbolicité par chaîne introduite par Sylvain Crovisier et Enrique Pujals. À l'aide de cette notion, nous donnons des critères explicites de stabilité ergodique et nous donnons quelques applications.Dans un travail commun avec Mauricio Poletti, nous prouvons que le produit aléatoire de difféomorphismes de surface conservatifs possède génériquement une région avec des exposants positifs. Nos résultats s'appliquent également aux produits tordus plus généraux.Nous étudions également les perturbations dissipatives de l'exemple de Berger-Carrasco. Nous classifions toutes les mesures u-Gibbs qui peuvent apparaître dans un voisinage de l'exemple. Dans ce voisinage, nous prouvons que toute mesure u-Gibbs est soit l'unique mesure SRB du système, soit la désintégration dans le feuilletage central est atomique. Dans un travail commun avec Pablo Carrasco, nous prouvons que cet exemple est robustement transitif (en fait robustement topologiquement mélangeant).

In this thesis we study the following topics:-stable ergodicity for conservative systems;-genericity of the existence of positive exponents for some skew products with two dimensional fibers;-rigidity of u-Gibbs measure for certain partially hyperbolic systems;-robust transitivity. We give a proof of stable ergodicity for a certain partially hyperbolic system without using accessibility. This system was introduced by Pierre Berger and Pablo Carrasco, and it has the following properties: it has a two dimensional center direction; it is non-uniformly hyperbolic having both a positive and a negative exponent along the center for almost every point, and the Oseledets decomposition is not dominated.In a different work, we find criteria of stable ergodicity for systems with a dominated splitting. In particular, we explore the notion of chain-hyperbolicity introduced by Sylvain Crovisier and Enrique Pujals. With this notion we give explicit criteria of stable ergodicity, and we give some applications. In a joint work with Mauricio Poletti, we prove that the random product of conservative surface diffeomorphisms generically has a region with positive exponents. Our results also hold for more general skew products. We also study dissipative perturbations of the Berger-Carrasco example. We classify all the u-Gibbs measures that may appear inside a neighborhood of the example. In this neighborhood, we prove that any u-Gibbs measure is either the unique SRB measure of the system or it has atomic disintegration along the center foliation. In a joint work with Pablo Carrasco, we prove that this example is robustly transitive (indeed robustly topologically mixing).