Facteurs locaux l-adiques

Local factors in l-adic cohomology

• Auteur / Autrice : Quentin Guignard
• Direction : Christophe Soulé, Ahmed Abbes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 22/05/2019
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Institut : Institut des hautes études scientifiques
• Jury : Président / Présidente : Dennis Gaitsgory
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Soulé, Dennis Gaitsgory, Fabrice Orgogozo, Lei Fu
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Fabrice Orgogozo, Lei Fu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Transformations de

Corps de classe

Cohomologie

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Cohomologie étale

Facteurs epsilon

Algebraic geometry

Étale cohomology

Epsilon factors

Résumé

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, nous donnons une démonstration alternative du théorème d'aplatissement par éclatements de Raynaud-Gruson. Celle-ci repose sur la construction et l'étude de certains espaces valuatifs, et nous permet de dégager la notion de Φ-anneau, qui fournit un substitut algébrique aux anneaux topologiques adiques : la notion correspondante de Φ-schéma est aux schémas ce que les espaces rigides sont aux schémas formels.Dans une seconde partie, nous nous inspirons de travaux de Laumon et de Deligne pour démontrer l'existence de facteurs ε locaux dans un cadre géometrique. Nous démontrons ensuite, en usant de la méthode la phase stationnaire ℓ-adique, une formule du produit pour le déterminant de la cohomologie d'un faisceau ℓ-adique sur une courbe en caractéristique p≠ℓ positive : cela étend des résultats précédemment connus pour un corps de base fini. Parmi les outils utilisées figure la théorie du corps de classes géométrique, dont nous donnons une démonstration géométrique s'inspirant de l'approche de Deligne pour le cas non ramifié.

This thesis is divided in two parts. We first give an alternative proof of the Raynaud-Gruson's theorem regarding flattening by blow-ups. The argument rests upon the study of certain valuative spaces associated to a refined notion of ring, which we name Φ-rings : these are algebraic substitutes to adic topological rings, and the corresponding Φ-schemes can be considered as generic fibers of schemes, in the same way that rigid spaces are generic fibers of formal schemes.In the second part, we prove the existence of local ε-factors in a geometric setting. These results, which are inspired by works of Laumon and Deligne, lead to a product formula for the determinant of the cohomology of an ℓ-adic sheaf on a curve over a perfect field of positive characteristic p≠ℓ, which was previously known for a finite base field. One of our main tools is geometric class field theory; we provide a detailed proof of its global version by extending Deligne's approach from the tamely ramified case to the general case.