Géométrie de certains tissus holomorphes singuliers en dimension 2

Geometry of some singular holomorphic webs in dimension 2

• Auteur / Autrice : Adjaratou Arame Diaw
• Direction : Frank Loray, Frédéric Touzet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 17/12/2019
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : ComuE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces réglées

Courbes elliptiques

Feuilletages (mathématiques)

Mots clés libres

Feuilletage

Tissu holomorphe

Singularité

Holonomie

Courbe elliptique

Surface réglée

Foliation

Holomorphic web

Singularity

Holonomy

Elliptic curve

Ruled surface

Résumé

On s'intéresse à l'étude des germes de tissus holomorphes singuliers sur une surface complexe dans deux cas différents. Dans la première partie de cette thèse, on étudie la classification analytique des germes de 2-tissus définis par deux germes de feuilletages holomorphes singuliers. Plus précisément, nous allons montrer qu'une paire de germes de feuilletages réduits non dégénérés ayant des séparatrices communes et des indices de Camacho-Sad différents est entièrement déterminée par un ensemble complet d'invariants composé de la paire des représentations d'holonomie, du couple des indices de Camacho-Sad et des séparatrices communes. Dans la deuxième partie de cette thèse, en étudiant la géométrie de la surface réglée elliptique stable, nous allons voir qu'une telle surface admet une unique structure de feuilletage de Riccati. De plus, grâce à la configuration de ses sections minimales, nous montrons l'existence d'une structure naturelle de 4-tissu singulier qu'on peut voir comme la donnée de quatre feuilletages linéaires sur un tore complexe. La géométrie de ce 4-tissu est donc équivalente à celle d'un germe de 4-tissu holomorphe singulier qui est parallélisable.

We are interested in the study of germs of singular holomorphic webs on a complex surface in two different cases. In the first part of this thesis, we study the analytic classification of germs of 2-webs defined by two germs of singular holomorphic foliations. More precisely, we will show that a pair of reduced, non degenerate foliations with common separatrices and different Camacho-Sad indices is entirely determined by a complete set of invariants composed of: the pair of holonomy representations, the couple of Camacho-Sad indices and the common separatrices. In the second part of this thesis, by studying the geometry of the stable elliptic ruled surface, we will see that this type of surface is endowed with a unique structure of Riccati foliation. Moreover, thanks to the configuration of its minimal sections, we show that there exists a natural structure of singular 4-web that we can see as four families of linear foliations on a complex torus. The geometry of this 4-web is then equivalent to that of a germ of singular holomorphic 4-web which is parallelisable.