Homogénéisation pour le mouvement brownien cinétique

Homogenisation for kinetic Brownian motion

• Auteur / Autrice : Pierre Perruchaud
• Direction : Ismaël Bailleul, Jürgen Angst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 21/10/2019
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : ComuE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de dimension infinie

Noyau de la chaleur

Mécanique des fluides

Analyse stochastique

Mouvement brownien

Mots clés libres

Analyse stochastique

Mécanique des fluides

Noyau de la chaleur

Groupes de dimension infinie

Stochastic differential equations

Stochastic analysis on manifolds

Groups of diffeomorphisms

Fluid mechanics

Heat kernels

Résumé

Le mouvement brownien cinétique est une famille de processus stochastiques indexée par un paramètre de bruit, qui se veut une interpolation entre le flot géodésique et le mouvement brownien. Dans le cas d'une variété de dimension finie, il est connu que l'on peut donner un sens rigoureux à cette propriété d'homogénéisation. Ce travail de thèse construit ces diffusions et prouve un résultat de convergence dans l'exemple de dimension infinie de certaines variétés de difféomorphismes, issues de la mécanique des fluides (chapitre 3). On se base sur des méthodes ergodiques et de chemins rugueux, qui, en dimension finie, se montrent aussi efficaces pour une classe générale de diffusions cinétiques (chapitre 2). De manière indépendante, on propose deux pistes d'étude pour le noyau associé au mouvement brownien cinétique en dimension deux (chapitre 4). Plus précisément on s'intéresse à son comportement en temps petit, par des méthodes de parametrix adaptées à ce problème hypoelliptique particulier.

The kinetic Brownian motion is a family of stochastic processes indexed by a noise parameter, which is expected to interpolate between the geodesic flow and the Brownian motion. For finite-dimensional manifolds, it is known that such a homogenisation property can be proved rigorously. This thesis provides a construction for these diffusions and a proof of a convergence result in the infinite-dimensional example of certain manifolds of maps, arising from fluid mechanics (chapter 3). We work with ergodic methods and rough paths theory, which, in finite dimension, also prove effective for a general class of kinetic diffusions (chapter 2). Independently, we offer two approaches for the study of the kernel associated to the two-dimensional kinetic Brownian motion (chapter 4). More precisely, we consider its small time asymptotics, using parametrix methods adapted to this particular hypoelliptic problem.