Équations cinétiques et de diffusion : comportement asymptotique dans le temps long et hypocoercivité

Kinetic and diffusion equations : large time asymptotic behaviour and hypocoercivity

• Auteur / Autrice : Xingyu Li
• Direction : Jean Dolbeault
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/12/2019
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Mischler
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Dolbeault, Stéphane Mischler, Mohammed Lemou, Christian Schmeiser, Lucilla Corrias, Amic Frouvelle
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohammed Lemou, Christian Schmeiser

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convergence (mathématiques)

Fokker-Planck, Équation de

Équations intégrales -- Théorie asymptotique

Mots clés libres

Hypocoercivité

Equation cinétique linéaire

Intervalle spectral

Transition de phase

Comportement asymptotique

Energie gratuite

Hypocoercivity

Linear kinetic equation

Spectral gap

Phase transition

Asymptotic behaviour

Free energy

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude du comportement asymptotique dans le temps et de l’hypocoercivité des EDP d’évolution.Nous montrons que pour l’équation de Nernst-Planck et dans les cas spécial de modèle de flocage, il existe des taux de convergence exponentiels optimaux vers des solutions stationnaires pour un temps long, et que ces taux sont déterminés par le trou spectral du problème linéarisé autour des solutions stables. De plus, pour le modèle de flocage, nous prouvons qu’il existe une valeur seuil qui commande la transition de phase et classe toutes les solutions stationnaires et les propriétés de stabilité linéaire. Ensuite, pour l’équation cinétique de Fokker-Planck, nous prouvons que, pour son entropie, le taux de décroissance exponentiel est plus rapide que le taux optimal jusqu’à une mesure nulle définie dans le temps. Et pour l’équation linéarisée de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck avec un potentiel de confinement externe, nous étudions le comportement dans le temps long des solutions en utilisant des méthodes d’hypocoercivité et une notion de produit scalaire adaptée à la présence d’un couplage de Poisson.

This thesis is devoted to study the large time asymptotic behaviour and hypocoercivity of evolution PDEs. We prove that forNernst-Planck equation and in several cases of flocking model, there exist optimal exponential rates of convergence to stationary solutions for large time, and the rates are determined by spectral gap of the linearized problem around the stable solutions. Moreover, for the flocking model, we prove that there exists a threshold value that drives phase transition and classify all stationary solutions and the linear stability properties. Then for kinetic Fokker-Planck equation, we prove that for its φ-entropy, the exponential rate of decay is faster than the optimal rate up to a zero-measure set in time. And for linearized Vlasov-Poisson Fokker-Planck equation with an external potential of confinement, we study the large time behaviour of the solutions using hypocoercivity methods and a notion of scalar product adapted to the presence of a Poisson coupling.