Aspects géométriques et probabilistes des gaz de coulomb

Geometric and probabilistic aspects of coulomb gases

• Auteur / Autrice : David García-Zelada
• Direction : Djalil Chafaï
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 28/06/2019
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Mylène Maïda
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Djalil Chafaï, Mylène Maïda, Sylvia Serfaty, Charles Bordenave, Laure Dumaz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sylvia Serfaty, Charles Bordenave

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrices aléatoires

Grandes déviations

Polynômes

Mots clés libres

Gaz de Coulomb

Polynôme aléatoire

Grandes déviations

Processus ponctuel déterminantal

Mesure de Gibbs

Variété riemannienne

Concentration de la mesure

Champ moyen

Coulomb gases

Random polynomial

Large deviations

Determinantal point process

Gibbs measure

Riemannian manifold

Concentration of measure

Mean field theory

Résumé

Nous explorons des modèles probabilistes appelés gaz de Coulomb. Ils apparaissent dans différents contextes comme par exemple dans la théorie des matrices aléatoires, l'effet Hall quantique fractionnaire de Laughlin et les modèles de supraconductivité de Ginzburg-Landau. Dans le but de mieux comprendre le rôle de l'espace ambiant, nous étudions des versions géométriques de ce système. Nous exploitons trois structures sur ce modèle. La première est définie par la interaction électrostatique provenant de la loi de Gauss. La deuxième est la structure déterminantale disponible que pour des valeurs précises de la température. La troisième est le principe de minimisation de l'énergie libre en physique, qui permet étudier des modèles plus généraux. Ces travaux conduisent à des nombreux questions ouvertes et à une famille de modèles d'intérêt.

We explore probabilistic models usually called Coulomb gases. They arise naturally in mathematics and physics. We can mention random matrix theory, the Laughlin fractional quantum Hall effect and the Ginzburg-Landau systems of superconductivity. In order to better understand the role of the ambient space, we study geometric versions of such systems. We exploit three structures. The first one comes from the electrostatic nature of the interaction given by Gauss's law. The second one is the determinantal structure which appears only for a specific temperature. The third one is the minimization of the free energy principle, coming from physics which gives us a tool to understand more general models. This work leads to many open questions on a whole family of models which can be of independent interest.).