Homogénéisation quantitative de milieux aléatoires : environnements dégénérés et modèle d’interface

Quantitative stochastic homogenization beyond elliptic equations

• Auteur / Autrice : Paul Dario
• Direction : Scott Armstrong, Jean-Christophe Mourrat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/06/2019
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Cardaliaguet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Scott Armstrong, Jean-Christophe Mourrat, Pierre Cardaliaguet, Noam Berger, Thomas Spencer, Ron Peled, Arianna Giunti, Julian Fischer
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Noam Berger, Thomas Spencer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse fonctionnelle

Homogénéisation (équations différentielles)

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Formes différentielles

Modèle d'interface

Percolation

Homogénéisation

Differential forms

Stochastic interface model

Percolation

Homogenization

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’homogénéisation stochastique, qui cherche à étudier le comportement d’équations aux dérivées partielles présentant des coefficients aléatoires oscillant rapidement. Elle est divisée en trois parties. La première partie correspond aux Chapitres 2 et 3 et cherche à étendre la théorie de l’homogénéisation stochastique quantitative, développée sous une hypothèse d’uniforme ellipticité, au contexte dégénéré de la percolation de Bernoulli sur-critique. Nous obtenons dans le Chapitre 2, un théorème d’homogénéisation quantitative ainsi qu’une théorie de la régularité à grande échelle pour les fonctions harmoniques sur l’amas infini. Dans le Chapitre 3, nous obtenons des estimées spatiales optimales en toute dimension pour le correcteur sur l’amas infini. Dans le Chapitre 4, nous étudions un autre type d’environnement dégénéré impliquant des formes différentielles et démontrons, dans ce contexte, un théorème d’homogénéisation quantitative. Dans le Chapitre 5, nous appliquons les idées de l’homogénéisation stochastique à un modèle issu de la physique statistique : le modèle de Ginzburg-Landau discret. Nous revisitons le début de la théorie de l’homogénéisation et la combinons avec des arguments de la théorie du transport optimal afin de démontrer un théorème de convergence quantitative pour la tension de surface du modèle.

This thesis is devoted to the study of stochastic homogenization, which aims at studying the behavior of partial differentialequations with highly heterogeneous, but statistically homogeneous, random coefficients. It is divided into three parts.The first part corresponds to Chapters 2 and 3 and tries to extend the theory of quantitative stochastic homogenization,developed under an assumption of uniform ellipticity, to the degenerate setting of supercritical Bernoulli bond percolation.In Chapter 2, we prove a quantitative homogenization theorem as well as a large scale regularity theory and Liouvilleresults for harmonic functions on the infinite cluster. In Chapter 3, we obtain optimal spatial estimates in all dimension forthe corrector on the infinite cluster.In Chapter 4, we study another type of degenerate environment involving differential forms and prove, in this setting, aquantitative homogenization theorem.In Chapter 5, we apply ideas from homogenization to a model of statistical physics: the discrete Ginzburg-Landau model.In this chapter, we revisit the beginning of the theory of stochastic homogenization and combine it with arguments fromthe theory of optimal transport to derive a quantitative rate of convergence for the finite-volume surface tension of themodel.