Thèse soutenue

Filtration principale de Kostant et chemins dans des réseaux de poids

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Auteur / Autrice : Nilamsari Kusumastuti
Direction : Abderrazak BouazizAnne Moreau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
Date : Soutenance le 24/10/2019
Etablissement(s) : Poitiers
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) - Laboratoire de Mathématiques et Applications / LMA-Poitiers
faculte : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées
Jury : Président / Présidente : Pierre Torasso
Examinateurs / Examinatrices : Abderrazak Bouaziz, Anne Moreau, Kenji Iohara, Florence Fauquant-Millet
Rapporteurs / Rapporteuses : Cédric Lecouvey, Maxim Nazarov

Résumé

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Il existe plusieurs filtrations intéressantes définies sur la sous-algèbre de Cartan d'une algèbre de Lie simple complexe issues de contextes très variés : l'une est la filtration principale qui provient du dual de Langlands, une autre provient de l'algèbre de Clifford associée à une forme bilinéaire invariante non-dégénérée, une autre encore provient de l'algèbre symétrique et la projection de Chevalley, deux autres enfin proviennent de l'algèbre enveloppante et des projections de Harish-Chandra. Il est connu que toutes ces filtrations coïncident. Ceci résulte des travaux de Rohr, Joseph et Alekseev-Moreau. La relation remarquable entre les filtrations principale et de Clifford fut essentiellement conjecturée par Kostant. L'objectif de ce mémoire de thèse est de proposer une nouvelle démonstration de l'égalité entre les filtrations symétrique et enveloppante pour une algèbre de Lie simple de type A ou C. Conjointement au résultat et Rohr et le théorème d'Alekseev-Moreau, ceci fournit une nouvelle démonstration de la conjecture de Kostant, c'est-à-dire une nouvelle démonstration du théorème de Joseph. Notre démonstration est très différentes de la sienne. Le point clé est d'utiliser une description explicite des invariants via la représentation standard, ce qui est possible en types A et C. Nous décrivons alors les images de leurs différentielles en termes d'objects combinatoires, appelés des chemins pondérés, dans le graphe cristallin de la représentation standard. Les démonstrations pour les types A et C sont assez similaires, mais ne nouveaux phénomènes apparaissent en type C, ce qui rend la démonstration nettement plus délicate dans ce cas.