Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins

Bijective combinatorics on trees and walks

• Auteur / Autrice : Lucas Randazzo
• Direction : Jean-Yves Thibon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 11/12/2019
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009)
• Jury : Président / Présidente : Gilles Schaeffer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Yves Thibon, Enrica Duchi, Jiang Zeng, Matthieu Josuat-Vergès, Viviane Pons, Cyril Nicaud
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Enrica Duchi, Jiang Zeng

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Fractions continues

Arbres (théorie des graphes) -- Informatique

Analyse combinatoire

Mots clés libres

Combinatoire

Bijections

Arbres

Chemins

Fractions continues

Polynômes

Combinatorics

Bijections

Trees

Walks

Continued fractions

Polynomials

Résumé

Cette thèse située dans le cadre de la combinatoire bijective a pour sujet plusieurs familles d'arbres et de chemins, objets classiques de la combinatoire, et tente de les mettre en relation par la construction de bijections. Dans un premier temps, motivé par des travaux récents, on s'intéresse aux chemins de basketball, dont la fonction génératrice vérifie une relation non triviale avec les nombres de Catalan. La preuve originale provenant de la méthode du noyau, notre objectif est d'étudier la décomposition de ce chemin pour obtenir une preuve bijective de cette formule. On trouve de plus que cette classe de chemins est en bijection avec les arbres unaires-binaires croissants dont la permutation associée évite -213-. Ensuite on s'intéresse à une formule d'énumération de chemins de Dyck pondérés. Corolaire de l'application d'une formule des équerres généralisée sur les tableaux de Young gauche, on montre que cette formule peut être interprétée comme une fraction continue grâce à la théorie de Flajolet. On s'intéresse aussi à une généralisation à -4- variables des polynômes de Ramanujan, et leur lien avec certaines familles d'arbres. Tout comme Guo et Zeng l'on fait précédemment avec les arbres planaires et les arbres à moitié mobiles, on interprète ces polynômes comme des fonctions génératrices des arbres de Greg et des arbres de Cayley, en construisant plusieurs bijections les mettant toutes en relation. Enfin, on s'intéresse à un ensemble partiellement ordonné de fonctions de parking à bulles. En s'intéressant à une représentation arborescente des fonctions de parking, on obtient plusieurs résultats sur la topologie de cet ensemble, notamment des résultats d'épluchabilité et d'énumération de chaînes

This thesis in bijective combinatorics focuses on the classical combinatorics classes that are trees and walks, and attempts to build bijections around them. Motivated by recent works, we first work on basketball walks, which generating function verifies a non-trivial relation involving the Catalan numbers. Since the original proof was using the kernel method to find this result, our objective is to study the decomposition of these walks to bijectively prove this formula. Moreover, we manage to find that these walks are in bijection with increasing unary-binary trees which permutation avoids the pattern -213-. Then we look at an enumerating formula for some weighted Dyck paths. Corollary to a generalised hook-length formula for skew Young tableaux, we use Flajolet's work to study this result with continued fractions. Following that, we look at a -4- variables generalization of the Ramanujan polynomials, and their link to different families of trees. As Guo and Zeng did with planar trees and half mobile trees, we interpret these polynomials as generating functions for Greg trees and Cayley trees, whilst building multiple bijections linking them all together. Finally, we look at a partially ordered set of bubbling parking functions. This tree structure representing parking functions allows us to prove multiple properties of the ordered set, such as shellability and chain enumeration