Thèse soutenue

Une topologie pour les arbres labellés, application aux arbres aléatoires s-compacts

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Gustave Emprin
Direction : Jean-François Delmas
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 06/12/2019
Etablissement(s) : Paris Est
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique / CERMICS
Jury : Président / Présidente : Jean-Stéphane Dhersin
Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Delmas, Bénédicte Haas, Thomas Duquesne, Romain Abraham
Rapporteurs / Rapporteuses : Bénédicte Haas, Thomas Duquesne

Mots clés

FR  |  
EN

Résumé

FR  |  
EN

Dans cette thèse, nous développons un nouvel espace pour l'étude des espaces métriques labellés et mesurés, dans l'optique de décrire des arbres généalogiques dont la racine est infiniment ancienne. Dans ces arbres, le temps est représenté par une fonction label qui est 1-Lipschitz. On appelle espace métrique labellé S-compact et mesuré tout espace métrique E équipé d'une mesure nu et d'une fonction-label 1-Lipschitz de E dans R, avec la condition supplémentaire que chaque tranche (l'ensemble des points de E dont le label appartient à un compact de R) doit être compact et avoir mesure finie. On note XS l'ensemble des espaces métriques labellés mesurés S-compacts, considérés à isométries près. Sur XS, on définit une distance dLGHP de type Gromov qui compare les tranches. Il s'ensuit une étude de l'espace (XS, dLGHP), dont on montre qu'il est polonais. De cette étude, on déduit les propriétés de l'ensemble T des éléments de XS qui sont des arbres continus dont les labels décroissent à vitesse 1 quand on se déplace vers la ``racine'' (qui peut être infiniment loin). Chaque valeur possible de la fonction label représente une génération de l'arbre généalogique. On montre que (T, dLGHP) est aussi polonais. On définit ensuite quelques opérations mesurables sur T, dont le recollement aléatoire d'une forêt sur un arbre.On utilise enfin cette dernière opération pour construire un arbre aléatoire qui est un bon candidat pour généraliser l'arbre brownien conditionné par son temps local (construction due à Aldous)