Modélisation multi-échelle de la diffraction des ondes électromagnétiques par de petits obstacles

Multi-scale modeling of the electromagnetic wave scattering by small obstacles

• Auteur / Autrice : Justine Labat
• Direction : Sébastien Tordeux, Victor Péron
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/11/2019
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et de leurs applications (Pau) - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau] - Advanced 3D Numerical Modeling in Geophysics
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche Inria de l'université de Bordeaux (Bordeaux)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes électromagnétiques -- Diffraction

Théorie asymptotique

Mots clés libres

Développements asymptotiques

Électromagnétisme

Équations de Maxwell

Asymptotic expansions

Electromagnetism

Maxwell equations

Résumé

Dans cette thèse, nous développons des méthodes numériques de résolution rapide, précise et efficace qui permettent de prendre en compte, dans des configurations tridimensionnelles, les phénomènes de diffraction d’ondes électromagnétiques en régime harmonique par une multitude d’obstacles, dans le cadre de calcul à basses et moyennes fréquences. Dans un premier temps, nous nous plaçons dans un cadre à basses fréquences et nous nous intéressons à une modélisation multiéchelle du phénomène de diffraction des ondes électromagnétiques par des obstacles dont la taille caractéristique est petite en comparaison avec la longueur d’onde. Nous mettons en œuvre la méthode des développements asymptotiques raccordés qui s’avère vraiment efficace dans le cadre de la réduction de modèles. Deux types de développements se distinguent : les approximations en champ proche ou quasi-statiques qui décrivent le phénomène à l’échelle microscopique et celles en champ lointain qui décrivent le phénomène à grande distance. Dans ce dernier contexte, les petits obstacles ne sont plus considérés comme des contraintes géométriques et peuvent être modélisés par des sources ponctuelles équivalentes interprétées en termes de multipôles électromagnétiques.Dans un second temps, nous nous plaçons dans un cadre à moyennes fréquences ; le domaine de calcul faisant quelques dizaines de longueurs d’ondes. Nous mettons en place une méthode spectrale pour le problème de diffraction multiple des ondes électromagnétiques par de multiples sphères.Cette méthode est basée sur la discrétisation d’une formulation par équations intégrales de frontière dans des bases locales et tangentielles, composées des fonctions harmoniques sphériques vectorielles. Il apparaît que les modèles réduits peuvent être adaptés au régime moyennes fréquences en incorporant des corrections non-triviales dictées par la théorie de Mie et portant surles fonctions de jauge associées aux termes successifs des développements asymptotiques. Nous présentons une comparaison de ces différents modèles illustrant leur précision. Toutefois, la prise en compte d’un grand nombre d’hétérogénéités peut s’avérer coûteuse en termes de temps de calcul,mais surtout d’utilisation de la mémoire. Pour pallier cette difficulté, nous implémentons un algorithme astucieux pour la résolution itérative des problèmes linéaires induits, sans jamais avoir à assembler de manière globale les matrices associées à la discrétisation.

In this thesis, we develop fast, accurate and efficient numerical methods for solving the timeharmonicscattering problem of electromagnetic waves in 3D by a multitude of obstacles for low andmedium frequencies. Taking into account a large number of heterogeneities can be costly in terms ofcomputation time and memory usage, particularly in the construction process of the matrix. In thefirst part of our work, we consider a multi-scale diffraction problem in low-frequency regimes inwhich the characteristic length of the obstacles is small compared to the incident wavelength. We usethe matched asymptotic expansion method which allows for the model reduction. Two types ofapproximations are distinguished : near-field or quasi-static approximations that descibe thephenomenon at the microscopic scale and far-field approximations that describe the phenomenon ata long distance. In the latter one, small obstacles are no longer considered as geometric constraintsand can be modelled by equivalent point-sources which are interpreted in terms of electromagneticmultipoles. The second part of this thesis also deals with the multiple scattering of electromagneticwaves by multiple spheres, however, at medium-frequencies. Here, the domain of computation is afew tens of wavelengths and we implement a spectral method which is based on the discretization ofa boundary integral equation into local and tangential basis functions composed of the vectorialspherical harmonics. The reduced asymptotic models of the first problem can be adapted for thisregime by incorporating non-trivial corrections appearing in the Mie theory. Specifically, the gaugefunctions in the asymptotics are modified. We then present a comparison of these different methodsin terms of their accuracy. Finally, for both methods and to overcome difficulties related tocomputational cost, we solve the linear problems iteratively and implement a clever algorithm whichavoids the global assembling of the matrices associated with the discretizations.