Modélisation et analyse numérique des écoulements à surface libre

Modeling and numerical analysis of free surface flows

• Auteur / Autrice : Pierrick Quemar
• Direction : Olivier Lafitte, Emmanuel Audusse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/10/2019
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse- Géométrie et Applications / LAGA
• Jury : Président / Présidente : Pascal Omnes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Astrid Decoene, Chi-Tuân Pham, Cindy Guichard, Laurence Halpern, Agnes Leroy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Miguel A. Fernández, Volker John

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Analyse numérique

Éléments finis, Méthode des

Écoulement tridimensionnel

Lagrange, Équations de

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Méthode Arbitrary Lagrangian- Eulerian

Méthode de stabilisation

Équations des vagues

Arbitrary Lagrangian-Eulerian method;

Stabilization method

Water waves equation

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution numérique des équations tridimensionnelles de Navier–Stokes à surface libre, écrites sous formalisme ALE, par la méthode des éléments finis. Ces équations permettent la représentation d’écoulements environnementaux. L’objectif initial et principal porte sur une analyse précise des limitations existantes des méthodes numériques et de possibles voies d’amélioration, mathématiquement justifiées, afin de réviser et d’améliorer le cœur numérique du code hydrodynamique Telemac-3D, développé par le Laboratoire National d’Hydraulique et Environnement d’EDF R&D. Nous décrivons ainsi précisément l’algorithme de ce dernier et nous l’évaluons à l’aune des publications les plus récentes. Ainsi, au sein de ce logiciel,les équations de Navier–Stokes à surface libre dans lesquelles la pression a été décomposée en une partie hydrostatique et une partie non-hydrostatique sont résolues. Une des limitations majeures concerne le fait que la vitesse calculée ne satisfait pas l’équation de continuité. De plus, nous avons relevé l’existence d’une restriction sur le pas de temps.Des voies alternatives sont explorées, et un algorithme très différent est analysé et programmé à des fins de comparaison. La stratégie numérique consiste à convecter la surface libre, à mettre à jour le domaine et à résoudre ensuite les équations de Navier–Stokes.Considérant cette approche, nous analysons un schéma éléments finis explicite d’ordre 1 en temps avec un terme de stabilisation symétrique pour l’équation cinématique de surface libre. Nous montrons que ce schéma permet de satisfaire deux propriétés importantes: la conservation globale de la masse d’eau et la divergence nulle faible. De plus, nous démontrons la stabilité conditionnelle de l’algorithme et nous proposons une nouvelle formulation variationnelle associée aux équations de Navier–Stokes permettant d’aboutir à un schéma éléments finis semi-implicite en temps, qui est stable indépendamment de la vitesse du domaine et d’une vitesse de convection à divergence nulle exacte.Finalement, certains modèles simplifiés utilisés dans d’autres logiciels développés par EDF R&D, notamment le modèle asymptotique en fréquence de Berkhoff utilisé au sein du logiciel Artemis [51], sont également étudiés afin d’acquérir une vue d’ensemble du domaine.L’équation de Berkhoff est dérivée asymptotiquement des équations de la houle linéaire.Une étude systématique de la dérivation de différents modèles simplifiés (Berkhoff, Shallowwater linéaire, Helmholtz) à partir des équations de la houle linéaire est effectuée.Le calcul d’une solution approchée des équations de Berkhoff utilisant des résultats de l’optique géométrique complète ce chapitre.

In this thesis, we are interested by Finite Elements methods for the three-dimensional free surface Navier–Stokes equations under the ALE formulation. They enable to simulate geophysical flows. The initial and main goal is to analyse the existing limitations of these numerical methods and to provide perspectives of improvement, justified mathematically.This purpose helps us to present a review and improvement way for Telemac-3D, which is a hydrodynamics industrial software developed by the Laboratoire National d’Hydraulique et Environnement of EDF R&D. Therefore, we analyse precisely and we evaluate this algorithm, with respect to the recent scientific publications. This software solves the free surface Navier–Stokes equations with the decomposition of the pressure through a hydrostatic part and a dynamic part. A major limitation is that the velocity field of the fluid is not divergence-free. Furthermore, we highlight a time restriction on the time step. Moreover, alternative approaches are studied and compared. In particular, we focus on a numerical strategy which consists in advecting the free surface, in updating the domain and in solving the Navier–Stokes equations. Based on this strategy, we analyze a first order explicit scheme in time with a Finite Elements stabilization term. The numerical method allows to ensure important properties : the mass conservation of the water quantity and the weak free divergence condition. We demonstrate that this scheme is conditionally stable in time. Besides, we propose a new variational formulation allowing to obtain a semi-implicit scheme in time combined with the Finite Elements method,which is stable independently from the velocity of the mesh and without an exact free divergence velocity.Finally, in order to expand the hydrodynamic knowledges, some simplified models used in other software developed by EDF R&D are studied. In particular, we focus on the mild-slope equation solved in the software Artemis [51]. It is an asymptotic model derived from the linear water wave equation. As a consequence, we study the hypothesis and the validity of the derivation. An approximate analytical solution is additionally derived for this purpose. Moreover, comparisons with other asymptotic models, such as the linear shallow water equation or the Helmholtz equation, are presented.