Dynamique chaotique des espaces-temps spatialement homogènes

Chaotic dynamics of spatially homogeneous spacetimes

• Auteur / Autrice : Tom Dutilleul
• Direction : François Béguin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/11/2019
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Julien Barral
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Berger, Cécile Huneau, Jacques Smulevici
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jérôme Buzzi, Hans Ringström

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fractions continues

Équations différentielles

Relativité générale (physique)

Mots clés libres

Systèmes dynamiques non uniformément hyperboliques

Non-Uniformly hyperbolic dynamical systems

Résumé

En 1963, Belinsky, Khalatnikov et Lifshitz ont proposé une description conjecturale de la géométrie asymptotique des modèles cosmologiques au voisinage de leur singularité initiale. En particulier, il y est avancé que la géométrie asymptotique des espaces-temps spatialement homogènes « génériques » devrait avoir un comportement oscillatoire chaotique modelé sur la dynamique d’une application discrète : l’application de Kasner. Nous démontrons que cette conjecture est vraie au moins pour un ensemble d’espaces-temps de mesure de Lebesgue strictement positive. Dans le contexte des espaces-temps spatialement homogènes, l’équation d’Einstein de la relativité générale se réduit à un système d’équations différentielles sur un espace des phases de dimension finie : les équations de Wainwright-Hsu. La dynamique de ces équations encode l’évolution de la géométrie des hypersurfaces spatiales dans les espaces-temps spatialement homogènes. Notre preuve est basée sur l’hyperbolicité non-uniforme des équations de Wainwright-Hsu. Nous considérons l’application de Poincaré associée aux solutions de ces équations sur une section transverse au flot et nous démontrons qu’il s’agit d’une application non-uniformément hyperbolique avec singularités. Ceci nous permet de construire des variétés stables locales « à la Pesin » pour cette application et de montrer que la réunion des orbites passant par ces variétés stables locales recouvre une partie de l’espace des phases de mesure de Lebesgue strictement positive. Le comportement oscillatoire chaotique des espaces-temps correspondant à ces orbites est une conséquence de cette construction. Du point de vue des systèmes dynamiques, les équations de Wainwright-Hsu se révèlent être très riches et posent un certain nombre de défis. Pour comprendre le comportement asymptotique d’un nombre conséquent de solutions de ces équations, nous serons amenés à : • faire une analyse fine de la dynamique locale d’un champ de vecteurs au voisinage d’une singularité partiellement hyperbolique dégénérée et non linéarisable, • travailler avec des applications non-uniformément hyperboliques ayant des singularités, pour lesquelles la théorie usuelle (due à Pesin et Katok-Strelcyn) ne s’applique pas à cause de la faible régularité de ces applications, • considérer des conditions arithmétiques exotiques exprimées en termes de fractions continues et utiliser des propriétés ergodiques quelque peu sophistiquées de l’application de Gauss pour montrer que ces propriétés sont génériques, etc.

In 1963, Belinsky, Khalatnikov and Lifshitz have proposed a conjectural description of the asymptotic geometry of cosmological models in the vicinity of their initial singularity. In particular, it is believed that the asymptotic geometry of generic spatially homogeneous spacetimes should display an oscillatory chaotic behaviour modeled on a discrete map’s dynamics (the so-called Kasner map). We prove that this conjecture holds true, if not for generic spacetimes, at least for a positive Lebesgue measure set of spacetimes. In the context of spatially homogeneous spacetimes, the Einstein field equations can be reduced to a system of differential equations on a finite dimensional phase space: the Wainwright-Hsu equations. The dynamics of these equations encodes the evolution of the geometry of spacelike slices in spatially homogeneous spacetimes. Our proof is based on the non-uniform hyperbolicity of the Wainwright-Hsu equations. Indeed, we consider the return map of the solutions of these equations on a transverse section and prove that it is a non-uniformly hyperbolic map with singularities. This allows us to construct some local stable manifolds à la Pesin for this map and to prove that the union of the orbits starting in these local stable manifolds cover a positive Lebesgue measure set in the phase space. The chaotic oscillatory behaviour of the corresponding spacetimes follows. The Wainwright-Hsu equations turn out to be quite interesting and challenging from a purely dynamical system viewpoint. In order to understand the asymptotic behaviour of (many of) the solutions of these equations, we will in particular be led to: • carry a detailed analysis of the local dynamics of a vector field in the neighborhood of degenerate nonlinearizable partially hyperbolic singularities, • deal with non-uniformly hyperbolic maps with singularities for which the usual theory (due to Pesin and Katok-Strelcyn) is not relevant due to the poor regularity of the maps, • consider some unusual arithmetic conditions expressed in terms of continued fractions and use some rather sophisticated ergodic properties of the Gauss map to prove that these properties are generic.