Retour à l'équilibre et compacité de la résolvante pour des opérateurs de Kramers-Fokker-Planck dégénérés

Return to Equilibrium and Compacity of the Resolvent for Degenerate Kramers-Fokker-Planck Operators

• Auteur / Autrice : Mona Ben said
• Direction : Francis Nier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/09/2019
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Bernard Helffer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hajer Bahouri, Karine Beauchard, Karel Pravda-Starov, Maher Zerzeri
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Frédéric Hérau, Alberto Parmeggiani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transformation de Bargmann

Quaternions

Seiberg-Witten, Invariants de

Laplacien

Opérateurs polynomiaux

Fokker-Planck, Équation de

Mots clés libres

Estimations sous-Elliptiques

Résolvante compacte

Subelliptic estimates

Compact resolvent

Résumé

L’équation de Kramers-Fokker-Planck est l’équation d’évolution pour les fonctions de distribution décrivant le mouvement brownien des particules dans un champ externe. Cette équation a été dérivée et utilisée pour décrire la cinétique de la réaction chimique.L'un des problèmes fondamentaux est d'analyser le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Kramers-Fokker-Planck dépendant du temps (t) et de prouver que ces solutions convergent exponentiellement vers l'équilibre lorsque t tend vers l’infini. Afin d'étudier le problème de retour exponentiel à l'équilibre, une méthode efficace consiste à étudier l'écart spectral, qui est réduit à l'analyse de la compacité de la résolvante de l'opérateur de Kramers-Fokker-Planck. Dans cette direction, cette thèse porte sur la théorie spectrale des opérateurs de Kramers-Fokker-Planck dégénérés et présente des conditions suffisantes pour la compacité de la résolvante.Cette thèse consiste principalement en trois parties bien articulées, qui ont fait l'objet de trois articles différents.Le premier article porte sur l'analyse du cas de potentiel polynomial de degré inférieur ou égal à deux. Dans cette situation, l'opérateur de Kramers-Fokker-Planck est évidemment quadratique. Ce travail conjoint avec Francis Nier et Joe Viola a abouti à des estimations sous-elliptiques optimales avec un contrôle uniforme des inégalités par rapport aux coefficients du polynôme. Ce contrôle est dû à un calcul exact basé sur l'apparition d'une structure quaternionique.Dans le deuxième article, nous investissons les résultats précédents et nous l'étendons, avec des corrections logarithmiques, à une classe de polynômes de degré supérieur ou égal à trois dont les modèles asymptotiques à l'infini après changement d'échelle sont de degré inférieur ou égal à 2.Le troisième article est consacré à l'étude du cas de potentiels homogènes de degré supérieur à deux. Il étend à son tour l'estimation sous-elliptique établie dans le deuxième article dans une situation homogène sous contrôle des valeurs propres de la matrice hessienne du potentiel

The Kramers-Fokker-Planck equation is the evolution equation for the distribution functions describing the Brownian motion of particles in an external field. This equation was derived and used to describe reaction kinetics.One of the basic problems is to analyze the large time behavior of solutions to the time-dependent Fokker-Planck equation and prove that these solutions converge exponentially towards the equilibrium as time t goes to +∞. In order to study the exponentially trend problem, an efficient method is to investigate the spectral gap, which is reduced to analyze the compactness of the resolvent of the Kramers-Fokker-Planck operator.In this direction, this thesis concerns the spectral theory of Kramers-Fokker-Planck operators with degenerate potentials and provides sufficient conditions for the resolvent compactness.The work beeing conducted in this thesis includes three main parts well articulated, which have been the subject of three different papers.The first paper focuses on the analysis of the case of polynomial potential with degree less than three, where obviously the Kramers-Fokker-Planck operator is quadratic. This joint work with Francis Nier and Joe Viola led to optimal subelliptic estimates with a uniform control of the inequalities with respect to the polynomial’s coefficients. This control is due to an exact calculus based on a quaternionic structure.In the second paper, we invest the previous results and we extend it, with logarithm corrections, to some class of polynomials with degree greater than two whose asymptotic models at infinity, after scaling, are of degree less three.The third paper is devoted to the study of the case of homogeneous potentials of degree strictly between 2 and 6. It extends in its turn the subelliptic estimate showed in the second article in an homogeneous situation under a control of the eigenvalues of the Hessian matrix of the potential.