Polytopes moments des compactifications sphériques d'un groupe : application au programme des modèles minimaux

Moment polytopes of group's spherical compactifications : application to the minimal model program

• Auteur / Autrice : Paul Bartholmey
• Direction : Cédric Bonnafé, Boris Pasquier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 15/07/2019
• Etablissement(s) : Montpellier
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphanie Cupit-Foutou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cédric Bonnafé, Boris Pasquier, Stéphanie Cupit-Foutou, Andreas Höring, Ronan Terpereau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stéphanie Cupit-Foutou, Andreas Höring

Mots clés

Mots clés contrôlés

Compactifications

Polytopes

Variétés toriques

Mots clés libres

Sphériques

Mori

Mmp

Spherical

Mmp

Mmp

Résumé

Le programme des modèles minimaux (MMP) est l'une des grandes théories développée en géométrie algébrique en vue de classifier les variétés algébriques complexes. Pour certaines familles d'exemples, le MMP est très bien connu. Notamment, pour les variétés toriques et horosphériques, la théorie se résume à une étude assez simple de familles de polytopes, dits polytopes moments, et elle s'étend même à des variétés plus singulières que dans le cas général. Le but de cette thèse est d'étendre ces résultats à des compactifications sphériques d'un groupe. On décrit dans un premier temps ces variétés, et on classifie tous les polytopes moments attachés à de telles compactifications. Puis on démontre que le MMP appliqué sur ces compactifications sphériques se traduit en termes de polytopes moments. Enfin on donne un programme codé en SageMath qui permet de donner les polytopes apparaissant dans le MMP d'une compactification sphérique d'un groupe simple.

The Minimal Model Program (MMP) is one of the greatest theories in Algebraic Geometry developped to classify algebraic varieties. For some families of algebraic varieties, the MMP has been studied in depth. In particular, for toric and horospherical varieties, it comes down to a quite easy study of families of polytopes, called moment polytopes, and it could be adapted to weaker hypothesis of singularities. The goal of this thesis is to show that this reduction can be extended to spherical compactifications of a group. First of all we describe these varieties and classify all moment polytopes of such compactifications. Then we prove that the MMP applied on this spherical compactifications reduces to a study of a families of this moment polytopes. Finaly we give a computer program, coded in SageMath, which gives all polytopes appearing in the MMP of a simple group's spherical compactification.