Utilisation intensive de l’ordinateur : dominations dans les grilles et autres problèmes combinatoires

Intensive use of computing resources for dominations in grids and other combinatorial problems

• Auteur / Autrice : Alexandre Talon
• Direction : Michaël Rao
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 29/11/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Jeandel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Jeandel, Tero Laihonen, Mathieu Liedloff, Aline Parreau, Myriam Preissmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tero Laihonen, Mathieu Liedloff

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pavage (mathématiques)

Polyominos

Grilles (analyse numérique)

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Nombre de domination

Grilles

Entropie de sous-shift

Dénombrement d’ensembles dominants

Déchargement

Polyominos

Pavages

Domination totale

Domination romaine

Graph theory

Domination number

Grid graphs

Subshift entropy

Counting dominating sets

Discharging

Polyominoes

Tiling

Total domination

Roman domination

Résumé

Nous cherchons à prouver de nouveaux résultats en théorie des graphes et combinatoire grâce à la vitesse de calcul des ordinateurs, couplée à des algorithmes astucieux. Nous traitons quatre problèmes. Le théorème des quatre couleurs affirme que toute carte d’un monde où les pays sont connexes peut être coloriée avec 4 couleurs sans que deux pays voisins aient la même couleur. Il a été le premier résultat prouvé en utilisant l'ordinateur, en 1989. Nous souhaitions automatiser encore plus cette preuve. Nous expliquons la preuve et fournissons un programme qui permet de la réétablir, ainsi que d'établir d'autres résultats avec la même méthode. Nous donnons des pistes potentielles pour automatiser la recherche de règles de déchargement.Nous étudions également les problèmes de domination dans les grilles. Le plus simple est celui de la domination. Il s'agit de mettre des pierres sur certaines cases d'une grille pour que chaque case ait une pierre, ou ait une voisine qui contienne une pierre. Ce problème a été résolu en 2011 en utilisant l’ordinateur pour prouver une formule donnant le nombre minimum de pierres selon la taille de la grille. Nous adaptons avec succès cette méthode pour la première fois pour des variantes de la domination. Nous résolvons partiellement deux autres problèmes et fournissons des bornes inférieures pour ces problèmes pour les grilles de taille arbitraire.Nous nous sommes aussi penchés sur le dénombrement d’ensembles dominants. Combien y a-t-il d’ensembles dominant une grille donnée ? Nous étudions ce problème de dénombrement pour la domination et trois variantes. Nous prouvons l'existence de taux de croissance asymptotiques pour chacun de ces problèmes. Pour chaque, nous donnons en plus un encadrement de son taux de croissance asymptotique.Nous étudions enfin les polyominos, et leurs façons de paver des rectangles. Il s'agit d'objets généralisant les formes de Tetris : un ensemble de carrés connexe (« en un seul morceau »). Nous avons attaqué un problème posé en 1989 : existe-t-il un polyomino d'ordre impair ? Il s'agit de trouver un polyomino qui peut paver un rectangle avec un nombre impair de copies, mais ne peut paver de rectangle plus petit. Nous n'avons pas résolu ce problème, mais avons créé un programme pour énumérer les polyominos et essayer de trouver leur ordre, en éliminant ceux ne pouvant pas paver de rectangle. Nous établissons aussi une classification, selon leur ordre, des polyominos de taille au plus 18.

Our goal is to prove new results in graph theory and combinatorics thanks to the speed of computers, used with smart algorithms. We tackle four problems.The four-colour theorem states that any map of a world where all countries are made of one part can be coloured with 4 colours such that no two neighbouring countries have the same colour. It was the first result proved using computers, in 1989. We wished to automatise further this proof. We explain the proof and provide a program which proves it again. It also makes it possible to obtain other results with the same method. We give potential leads to automatise the search for discharging rules.We also study the problems of domination in grids. The simplest one is the one of domination. It consists in putting a stone on some cells of a grid such that every cell has a stone, or has a neighbour which contains a stone. This problem was solved in 2011 using computers, to prove a formula giving the minimum number of stones needed depending on the dimensions of the grid. We successfully adapt this method for the first time for variants of the domination problem. We solve partially two other problems and give for them lower bounds for grids of arbitrary size.We also tackled the counting problem for dominating sets. How many dominating sets are there for a given grid? We study this counting problem for the domination and three variants. We prove the existence of asymptotic growths rates for each of these problems. We also give bounds for each of these growth rates.Finally, we study polyominoes, and the way they can tile rectangles. They are objects which generalise the shapes from Tetris: a connected (of only one part) set of squares. We tried to solve a problem which was set in 1989: is there a polyomino of odd order? It consists in finding a polyomino which can tile a rectangle with an odd number of copies, but cannot tile any smaller rectangle. We did not manage to solve this problem, but we made a program to enumerate polyominoes and try to find their orders, discarding those which cannot tile rectangles. We also give statistics on the orders of polyominoes of size up to 18.