Approche rigoureuse aux modèles intégrable quantique à température finie

Rigorous Approach to Quantum Integrable Models at Finite Temperature

• Auteur / Autrice : Salvish Goomanee
• Direction : Karol K. Kozlowski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 30/09/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de Physique et Astrophysique de Lyon (Lyon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Michel Maillet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Karol K. Kozlowski, Jean-Michel Maillet, Andreas Klümper, Vincent Pasquier, Véronique Terras
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Andreas Klümper, Vincent Pasquier

Mots clés

Mots clés libres

Chaîne de spin XXZ de Heisenberg

Matrice de transfert quantique

Equations intégrales non-linéaires

XXZ Heisenberg spin chain

Quantum transfer matrix

Non-linear integral equations

Résumé

Cette thèse développe un cadre rigoureux qui permet de démontrer des représentations exactes associées à divers observables de la chaîne XXZ de Heisenberg de spin 1/2 à température finie. Il a était argumenté dans la littérature que l’énergie libre par site ou les longueurs de corrélations admettent des représentations intégrales où les intégrandes sont exprimées en termes de solutions d’équations intégrales non-linéaires. Les dérivations de ces représentations reposaient sur divers conjectures telles que l’existence d’une valeur propre de la matrice de transfert quantique, real, non-dégénérée, de module maximale, de l’échangeabilitée de la limite du volume infinie et du nombre de Trotter à l’infinie, de l’existence et de l’unicité des solutions des equation intégrales non-linéaires auxiliaires et finalement de l’identification des valeurs propers de la matrice de transfert quantiques avec les solutions de l’équations intégrales non-linéaires. Nous démontrons toutes ces conjectures dans le regime de haute température. Nôtre analyse nous permet aussi de démontrer que pour ces température suffisamment élevées, il est possible d’avoir une description d’un certain sous-ensemble de valeurs propres sous-dominante de la matrice de transfert quantique décrite en terme de solutions d’une chaîne de spin-1 de taille finie.

This thesis develops a rigorous framework allowing one to prove the exact representations for various observables in the XXZ Heisenberg spin-1/2 chain at finite temperature. Previously it has been argued in the literature that the per-site free energy or the correlation lengths admit integral representations whose integrands are expressed in terms of solutions of non-linear integral equations. The derivations of such representations relied on various conjectures such as the existence of a real, non-degenerate, maximal in modulus Eigenvalue of the quantum transfer matrix, the exchangeability of the infinite volume limit and the Trotter number limits, the existence and uniqueness of the solutions to the auxiliary non-linear integral equations and finally the identification of the quantum transfer matrix’s Eigenvalues with solutions to the non-linear integral equation. We rigorously prove all these conjectures in the high temperature regime. Our analysis also allows us to prove that for temperatures high enough, one may describe a certain subset of sub-dominant Eigenvalues of the quantum transfer matrix described in terms of solutions to a spin-1 chain of finite length.