Numerical implementation of the wave-turbulence closure in a rotating channel

Implémentation numérique de la fermeture de turbulence d’ondes dans un canal rotatif

• Auteur / Autrice : Aleksandr Eremin
• Direction : Julian Scott
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des fluides
• Date : Soutenance le 05/11/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (Villeurbanne ; 2011-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École Centrale de Lyon (1857-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mécanique des fluides et acoustique (Rhône)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Mordant
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Julian Scott, Fabien Godeferd, Anne Cadiou, Aurore Naso, Benjamin Favier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sébastien Galtier, Sergio Chibbaro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Turbulence

Mots clés libres

Turbulence en rotation

Turbulence d’ondes

Turbulence confinée

Rotating turbulence

Wave turbulence

Confined turbulence

Résumé

L’étude porte sur un problème de turbulence dans un canal mis en rotation rapide. Dans ce cas, la non linéarité est dominée par la rotation, ce qui suggère d’utiliser la théorie de la turbulence d’ondes.La première partie de ce travail porte sur l’étude du modèle de fermeture pour la turbulence d’ondes (WTC pour « wave-turbulence closure »). Nous exprimons le champ de vitesse comme combinaison de modes de guide d’onde inertiels. Le confinement en canal implique aussi une discrétisation de la composante du vecteur d’onde normale à la paroi. Le transfert non linéaire est dominé par les interactions résonantes entre triades de vecteurs d’ondes. La viscosité, qui se manifeste par l’amortissement des modes, est la somme de deux contributions : l’une volumique, l’autre due à la paroi. Le taux d’amortissement en volume croît comme le carré du nombre d’onde, et inhibe la cascade d’énergie en-deçà d’une certaine échelle de longueur.L’implémentation numérique du modèle utilise un schéma d’avancement en temps qui assure la propriété de réalisabilité du modèle ainsi que la prise en compte des discontinuités spectrales prédites par la théorie de turbulence d’ondes. Les résultats de notre étude numérique du modèle WTC montrent que l’évolution en temps de la turbulence se produit en deux phases. Pendant la première phase, l’amortissement dû à la paroi est dominant, mais à la suite de la cascade d’énergie vers les petites échelles, l’amortissement volumique prend le dessus pendant la seconde phase. Lorsque le coefficient d’amortissement volumique est suffisamment petit, la transition entre les deux phases se produit brusquement à un instant qui est indépendant à la fois des coefficients d’amortissement volumique et de paroi, mais qui varie significativement avec le troisième paramètre du problème qu’est la largeur spectrale initiale. L’évolution du spectre révèle le développement d’une zone inertielle dont la pente se trouve presque indépendante des paramètres du problème. Le transfert d’énergie parallèlement aux parois du canal apparaît être plus efficace que dans la direction normale.En vue de réaliser des simulations numériques directes (DNS pour « Direct Numerical Simulations »), il a fallu développer une méthode appropriée à l’initialisation d’un champ de vitesse possédant les propriétés statistiques prescrites par le modèle. La comparaison des résultats de DNS et de WTC nécessite la construction de la matrice spectrale aux temps ultérieurs. Ceci a nécessité le développement de méthodes d’analyse spectrale et leur incorporation au sein du code de DNS existant. Malgré l’utilisation d’un super-calculateur et du calcul massivement parallèle, seuls trois calculs de DNS ont été possibles. Ces calculs utilisent les mêmes paramètres physiques mais différentes périodes spatiales pour la DNS, afin de vérifier la convergence en fonction des paramètres numériques. Idéalement, de nombreuses réalisations devraient être lancées et une moyenne d’ensemble prise pour calculer la matrice spectrale. Ceci n’étant pas possible avec un seul calcul, nous avons plutôt développé une méthode s’appuyant sur l’isotropie statistique dans les directions parallèles aux parois, dans laquelle les moyennes sont faites sur des domaines annulaires de l’espace spectral. Malheureusement, nos résultats indiquent que la non linéarité n’est pas suffisamment faible au nombre de Rossby utilisé dans les DNS. Par conséquent, un abaissement supplémentaire du nombre de Rossby serait nécessaire pour atteindre le régime d’applicabilité de la théorie de turbulence d’ondes. Ceci n’est cependant pas envisageable avec la puissance de calcul à disposition.

A problem of turbulence in a rapidly rotating channel is investigated. The rapid rotation means that nonlinearity is dominated by rotation suggesting application of wave-turbulence theory.The first part of the work is devoted to study of the wave-turbulence closure (WTC) model. We express the velocity field as a combination of inertial waveguide modes. In its turn, confinement implies discretization of the wall-normal component of the wave vector. The nonlinear transfer is dominated by resonant interactions of wave-vector triads. Viscosity is present via modal damping, which is the sum of two components: volumetric and wall damping. The volumetric-damping rate grows as the square of the wavenumber inhibiting the energy cascade below a certain scale.The numerical implementation of the model uses a time-marching scheme ensuring the realizability property of the model and explicit consideration of the spectral discontinuities predicted by the wave-turbulence theory. According to the results of numerical investigation of the WTC model the time evolution of the turbulence occurs in two phases. During the first phase wall damping dominates, but following an energy cascade to the small scales, volumetric damping takes over during the second phase. Provided the volumetric-damping coefficient is sufficiently small, the transition between the phases takes place abruptly at a time which is insensitive to both wall- and volumetric- damping coefficients, but varies significantly with the third parameter of the problem, which is the initial spectral width. Evolution of the spectra reveals the development of an inertial range whose exponent is found to be almost independent of the problem parameters. The transfer of energy parallel to the channel walls is found to be more efficient than in the cross-channel direction.To perform direct numerical simulations (DNS) an appropriate method for initialization of the velocity field possessing the statistical properties prescribed by the model is developed. Comparison of the DNS and WTC results requires construction of the spectral matrix at later times. This involved the development of spectral analysis methods and their incorporation into the existing DNS code. Despite running the DNS on a super-computer and using many processors in parallel, only three runs were feasible. Those runs used the same physical parameters and different DNS spatial periods to check for convergence with respect to that numerical parameter. In an ideal world, many realizations would be performed and the ensemble average taken to calculate the spectral matrix. Given one run, this is not possible, so we instead developed a method based on statistical isotropy in the directions parallel to the walls in which averages are taken over annular regions in spectral space. Unfortunately, the results indicate that nonlinearity is not small enough for the Rossby number used in the DNS. That is, further reduction of the Rossby number would be needed to reach the regime of applicability of the wave-turbulence theory. This is not achievable with the computer power available.