Sur la théorie des jeux à champ moyen et leurs applications en économie et finance quantitative

Topic in mean field games theory & applications in economics and quantitative finance

• Auteur / Autrice : Charafeddine Mouzouni
• Direction : Élisabeth Mironescu, Pierre Cardaliaguet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/03/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École Centrale de Lyon (1857-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Yves Achdou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Élisabeth Mironescu, Pierre Cardaliaguet, François Delarue, Catherine Rainer, Francisco Silva
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Martino Bardi, Jean-François Chassagneux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du champ moyen

Théorie des jeux

Mots clés libres

Jeux à Champ Moyen

Jeux à N-Joueurs

Équilibres de Nash

Systèmes d’EDP non Linéaires Couplées

Auto-organisation

Modèles de Bertrand & Cournot

Exécution Optimal

Mean Field Games

N-Person Games

Nash equilibria

Nonlinear Coupled PDE Systems

Self-organization

Bertrand & Cournot Models

Optimal Trading

Résumé

Les systèmes de jeux à champ moyen (MFG) décrivent des configurations d’équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d’agents infinitésimaux. Cette thèse s’articule autour de trois contributions différentes la théorie des jeux à champ moyen. Le but principal est d’explorer des applications et des extensions de cette théorie, et de proposer de nouvelles approches et idées pour traiter les questions mathématiques sous-jacentes. Le premier chapitre introduit en premier lieu les concepts et idées clés que nous utilisons tout au long de la thèse. Nous introduisons le problème MFG et nous expliquons brièvement le lien asymptotique avec les jeux différentiels N-joueurs lorsque N → ∞. Nous présentons ensuite nos principaux résultats et contributions. Le Chapitre 2 explore un modèle MFG avec un mode d’interaction non anticipatif (joueurs myopes). Contrairement aux modèles MFG classiques, nous considérons des agents moins rationnels qui n’anticipent pas l’évolution de l’environnement, mais observent uniquement l’état actuel du système, subissent les changements et prennent des mesures en conséquence. Nous analysons le système couplé d’EDP résultant de ce modèle, et nous établissons le lien rigoureux avec le jeu correspondant à N-Joueurs. Nous montrons que la population d’agents peut s’auto-organiser par un processus d’autocorrection et converger exponentiellement vite vers une configuration d’équilibre MFG bien connue. Les Chapitres 3 et 4 concernent l’application de la théorie MFG pour la modélisation des processus de production et commercialisation de produits avec ressources épuisables (ex. énergies fossiles). Dans le le Chapitre 3, nous proposons une approche variationnelle pour l’étude du système MFG correspondant et analysons la limite déterministe (sans fluctuations de la demande) dans un régime où les ressources sont renouvelables ou abondantes. Nous traitons dans le Chapitre 4 l’approximation MFG en analysant le lien asymptotique entre le modèle de Cournot à N-joueurs et le modèle de Cournot MFG lorsque N est grand. Enfin, le Chapitre 5 considère un modèle MFG pour l’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs dans un marché financier. Nous explicitons notre modèle MFG et analysons le système d’EDP résultant, puis nous proposons une méthode numérique pour calculer la stratégie d’exécution optimale pour un agent étant donné son inventaire initial, et présentons plusieurs simulations. Par ailleurs, nous analysons l’influence de l’activité de trading sur la variation intraday de la matrice de covariance des rendements des actifs. Ensuite, nous vérifions nos conclusions et calibrons notre modèle en utilisant des données historiques des transactions pour un pool de 176 actions américaines.

Mean Field Game (MFG) systems describe equilibrium configurations in differential games with infinitely many infinitesimal interacting agents. This thesis is articulated around three different contributions to the theory of Mean Field Games. The main purpose is to explore the power of this theory as a modeling tool in various fields, and to propose original approaches to deal with the underlying mathematical questions. The first chapter presents the key concepts and ideas that we use throughout the thesis: we introduce the MFG problem, and we briefly explain the asymptotic link with N-Player differential games when N → ∞. Next we present our main results and contributions, that are explained more in details in the subsequent chapters. In Chapter 2, we explore a Mean Field Game model with myopic agents. In contrast to the classical MFG models, we consider less rational agents which do not anticipate the evolution of the environment, but only observe the current state of the system, undergo changes and take actions accordingly. We analyze the resulting system of coupled PDEs and provide a rigorous derivation of that system from N-Player stochastic differential games models. Next, we show that our population of agents can self-organize and converge exponentially fast to the well-known ergodic MFG equilibrium. Chapters 3 and 4 deal with a MFG model in which producers compete to sell an exhaustible resource such as oil, coal, natural gas, or minerals. In Chapter 3, we propose an alternative approach based on a variational method to formulate the MFG problem, and we explore the deterministic limit (without fluctuations of demand) in a regime where re- sources are renewable or abundant. In Chapter 4 we address the rigorous link between the Cournot MFG model and the N-Player Cournot competition when N is large. In Chapter 5, we introduce a MFG model for the optimal execution of a multi-asset portfolio. We start by formulating the MFG problem, then we compute the optimal execution strategy for a given investor knowing her/his initial inventory and we carry out several simulations. Next, we analyze the influence of the trading activity on the observed intra-day pattern of the covariance matrix of returns and we apply our results in an empirical analysis on a pool of 176 US stocks.