Expansions et néostabilité en théorie des modèles

Expansions and neostability in model theory

• Auteur / Autrice : Christian d' Elbée
• Direction : Thomas Blossier, Zoé Chatzidakis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/06/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Françoise Point
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Blossier, Zoé Chatzidakis, Pierre Simon, Itaï Ben Yaacov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Itay Kaplan, Artem Chernikov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des modèles

Mots clés libres

Expansions génériques

Sous-groupes génériques de corps

Théories NSOP 1

Déviation

Kim-déviation

Valuations p-adiques sur le groupe des entiers

Dp-rang fini

Generic expansions

Fields with generic subgroups

NSOP 1 theories

Forking

Kim- forking

P-adic valuations on integers

Finite dp-rank

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude d’expansions de certaines structures algébriques et leur place dans la classification modèle-théorique des structures, initiée par Shelah. La première partie aborde de manière abstraite l’expansion d’une théorie par un prédicat aléatoire –ou générique– pour une sous-structure modèle d’un réduit de la théorie. Nous éla- borons un critère pour l’existence d’une telle expansion, qui est vérifié pour certaines théories de structures algébriques. En particulier, nous montrons l’existence de sous-groupes additifs génériques pour certaines théories de corps, ainsi que de sous-groupes multiplicatifs génériques pour les corps algébriquement clos en toute caractéristique. Nous étudions aussi la conservation de diverses notions de néostabilité, en particulier nous montrons que cette expansion préserve la propriété NSOP 1 , mais en général ne préserve pas la simplicité. Nous produisons par cette construction de nouveaux exemples de structures NSOP 1 non simples, et faisons une étude toute particulière de l’une d’entre elles : l’expansion d’un corps algébriquement clos de caractéristique positive par un sous-groupe additif générique. La deuxième partie étudie les expansions du groupe des entiers par des valuations p-adiques. Nous montrons l’élimination des quantificateurs dans un langage naturel et calculons le dp-rang d’une telle expansion : il est égal au nombre de valuations considérées. L’expansion du groupe des entiers par une seule valuation p-adique est donc une nouvelle expansion dp-minimale du groupe des entiers. Enfin, nous montrons que cette dernière n’admet pas de structures intermédiaires : tout ensemble définissable dans l’expansion est soit définissable dans le groupe des entiers, soit capable de “reconstruire” la valuation en utilisant seulement la structure additive

This thesis is concerned with the expansions of some algebraic structures and their fit in Shelah’s classification landscape. The first part deals with the expansion of a theory by a random –or generic– predicate for a substructure model of a reduct of the theory. We describe a setup allowing such an expansion to exist, which is suitable for several algebraic structures. In particular, we obtain the existence of additive generic subgroups of some theories of fields and multiplicative generic subgroups of algebraically closed fields in all characteristic. We also study the preservation of certain neostability notions, for instance, the NSOP 1 property is preserved but the simplicity is not in general. Thus, this construction produces new examples of NSOP 1 not simple theories, and we study in depth a particular example: the expansion of an algebraically closed field of positive characteristic by a generic additive subgroup. The second part studies expansions of the groups of integers by p-adic valuations. We prove quantifier elimination in a natural language and compute the dp-rank of these expansions: it equals the number of distinct p-adic valuations considered. Thus, the expansion of the integers by one p-adic valuation is a new dp-minimal expansion of the group of integers. Finally, we prove that the latter expansion does not admit intermediate structures: any definable set in the expansion is either definable in the group structure or is able to "reconstruct" the valuation using only the group operation