Construction et analyse des algorithmes exacts et exponentiels : énumération input-sensitive
Auteur / Autrice : | Mohamed Yosri Sayadi |
Direction : | Loïc Colson |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 04/11/2019 |
Etablissement(s) : | Université de Lorraine |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Génie Informatique, de Production et de Maintenance (Metz) |
Jury : | Président / Présidente : Hoai An Lê Thi |
Examinateurs / Examinatrices : Loïc Colson, Bruno Escoffier, Lhouari Nourine, Michaël Rao | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Escoffier, Lhouari Nourine |
Résumé
Moon et Moser ont prouvé que le nombre maximum des ensembles stables maximaux dans un graphe de n sommets est au plus 3^{n/3}. Cette borne, appelée borne supérieure, est stricte vu l’existence d’une famille des graphes avec un tel nombre appelée borne inférieure. Au contraire de l’énumération des ensembles stables maximaux, avoir deux bornes qui se qui se coïncident n’est pas évident du tout. Et c’est assez courant dans l’énumération « input-sensitive » d’avoir un grand écart. Ce problème concerne même les ensembles les plus classiques comme les ensembles dominants minimaux où le meilleur algorithme connu pour énumérer ces ensembles est en O(1.7159^n) et la meilleure borne inférieure connue est seulement 1.5704^n. Durant cette thèse, on a proposé un algorithme « Mesurer pour Conquérir » pour énumérer tous les ensembles dominants minimaux dans les graphes cordaux en O(1.5048^n). On a étudié aussi l’énumération des ensembles dominants connexes minimaux et les ensembles irredondants maximaux qui sont très proches des ensembles dominants minimaux. On a proposé un algorithme d’énumération des ensembles dominants connexes minimaux dans les graphes bipartis convexes en O(1.7254^n). On a conçu aussi des algorithmes d’énumération des ensembles irredondants maximaux dans les graphes cordaux, les graphes d’intervalles et les forêts en O(1.7549^n), O(1.6957^n ) et O(1.6181^n) respectivement au lieu de l’algorithme trivial en O*(2^n). On a proposé aussi comme une borne inférieure une famille de forêts avec Omega(1.5292^n) ensembles irredondants maximaux. Dans le cas des cographes, l'écart entre les deux bornes est réduit à néant en montrant que le nombre maximum de ces ensembles est Theta(15^{n/6}). Afin de varier, on a étudié un nouvel ensemble défini récemment : L’ensemble tropical connexe minimal. On a proposé une borne inférieure de 1.4961^n, mais sans réussir à améliorer la borne supérieure de 2^n. On a proposé des algorithmes d’énumération des ensembles tropicaux connexes minimaux dans les graphes cobipartis, les graphes d’intervalles et les graphes blocs en O*(3^{n/3}), O(1.8613^n) et O*(3^{n/3}) respectivement. On a établi une borne inférieure de 1.4766^n pour les graphes scindés et de 3^{n/3} pour les graphes cobipartis, les graphes d’intervalles et les graphes blocs. Finalement, comme perspective et pour attirer l’attention de la communauté sur l’énumération des ensembles dominants totaux minimaux, on a montré que le nombre maximum de ces ensembles est Ω(1.5848^n).