Résolutions symplectiques et de contact de variétés de Poisson et de Jacobi

Sympletic and contact resolutions of Poisson and Jacobi manifolds

• Auteur / Autrice : Hichem Lassoued
• Direction : Camille Laurent-Gengoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/08/2019
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Angela Pasquale
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Camille Laurent-Gengoux, Martin Bordemann, Saïd Benayadi, Mathieu Stiénon, HongLei Lang
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Martin Bordemann, Mohamed Boucetta, Mohamed Belkhelfa

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Jacobi, Variétés de

Poisson, Variétés de

Mots clés libres

Géométrie de Poisson

Variété de Jacobi

Résolution des singularités

Symplectic

Poisson

Realization

Résumé

Les structures de Poisson et de Jacobi peuvent être singulières de deux façons : la structure peut être singulière (que l'on appelle singularité du premier type), mais aussi la variété elle-même peut avoir des singularités (ce que l'on appelle deuxième type de singularité). Dans un cas comme dans l'autre, résoudre la singularité consiste à trouver un objet lisse muni d'une structure symplectique ou de contact qui se projette sur l'objet singulier. Plusieurs travaux s'intéressent à ces différents types de singularités, pour celles du second type, des méthodes de type Hironaka ont été proposées dans le cadre de la géométrie algébrique. Pour celles du premier type, dans un cadre de la géométrie différentielle, il est bien connu qu'il est possible de changer la structure de Poisson et la structure de Jacobi en une structure symplectique et en une structure de contact quitte à doubler la dimension. Le but de cette thèse est de donner quelques jalons pour une théorie cohérente de la résolution des deux types de singularités pour des variétés de Poisson et de Jacobi sans augmenter la dimension et en restant dans le cadre de géométrie différentielle, c’est à dire en travaillant avec des fonctions lisses. Le premier de ses jalons est un résultat négatif : nous montrons qu'il n'existe pas de résolutions raisonnables de singularités du premier type quand le lieu singulier est de codimension 1. Nous donnons aussi des exemples qui montrent qu'en codimension deux une telle résolution peut exister. Nous faisons ceci aussi bien pour les structures de Poisson que celles de Jacobi. Les deux derniers chapitres sont consacrés à la résolution du deuxième type de singularité. Nous commençons par redonner un point de vue nouveau sur des résultats connus sur la singularité du Du Val qui sont des quotients de R^2 par des groupes finis de Sl(2,R). Enfin, en s'appuyant sur les résolutions de Du Val, on donne au dernier chapitre des résolutions symplectiques propres d’objets de Poisson singuliers définis par le quotient de R^2 par un sous-groupe infini de Gl(2,R).

Poisson and Jacobi structures can be singular in two ways: the structure can be singular (we then say: singularity of the first type), but the variety itself can also have singularities (we then say: singularity of the second type). In both cases, solving the singularity consists in finding a smooth object equipped a symplectic or contact structure that projects onto the singular object under consideration. Several works deal with these different types of singularities. For those of the second type, Hironaka type methods have been proposed in the framework of algebraic geometry. For those of the first type, in a framework of differential geometry, it is well known that it is possible to turn the Poisson structure and the Jacobi structure into a symplectic structure and a contact structure if we allow to double the dimension. The aim of this thesis is to give some milestones for a coherent theory of the resolution of the two types of singularities for Poisson and Jacobi varieties. We want, however, 1) not to increase the dimension and 2) to remain within the framework of differential geometry – i.e. we work with smooth functions. The first of its milestones is a negative result: we show that there are no reasonable resolutions of singularities of the first type when the singular locus is of codimension one. We also give examples that show that in codimension two such a resolution can exist. We do this for both Poisson and Jacobi structures. The last two chapters are devoted to solving the second type of singularity. We begin by suggesting a new point of view on known results on the Du Val singularity which are quotients of R^2 by finite groups of Sl (2, R). Finally, when using Du Val's symplectic resolutions, we give in the last chapter an example of a proper symplectic resolution of a singular Poisson object: the quotient of R ^ 2 by an infinite subgroup of Gl (2, R).