Analyse asymptotique des équations de Hardy-Sobolev dans des espaces singuliers

Asymptotic Analysis of Hardy-Sobolev equations in singular spaces

• Auteur / Autrice : Hussein Cheikh Ali
• Direction : Frédéric Robert, Denis Bonheure
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/12/2019
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université libre de Bruxelles (1970-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Premoselli
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Robert, Denis Bonheure, Angela Pistoia, Monica Musso, Laurent Thomann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Green, Fonctions de

Analyse géométrique asymptotique

Analyse fonctionnelle

Schrödinger, Équation de

Courbure

Sobolev, Inégalités de

Mots clés libres

Inégalité de Hardy-Sobolev

Courbure moyenne généralisé

Masse de la fonction Green

Comportement Asymptotique

Hardy-Schrödinger

Moving Plane

Meilleure Constante

Blow-up

Équation d’ordre 4

Rigidité

Domaine non-régulier

Hardy-Sobolev inequality

Generalized mean curvature

Mass of Green-Function

Asymptotic behavior

Hardy-Schrödinger

Moving Plane

Best Constant

Blow-up

Fourth-Order equation

Rigidity

Non-Smooth Domain

Résumé

Dans ce manuscrit, divisé en 3 parties, nous étudions des extrémales d’inégalités de Hardy-Sobolev. Partie 1 : Nous obtenons l’existence de solutions singulières pour l’équation de Hardy-Schrödinger perturbée ou non sur un domaine non régulier avec le point singulier 0 de l’équation se trouvant sur le bord du domaine. En particulier, nous introduisons une courbure géométrique G qui généralise la courbure moyenne pour les ”grandes dimensions” et une notion nouvelle de masse m pour les ”petites dimensions”. Notre résultat principal est que dans le cas d’un potentiel variable du terme perturbatif sous-critique, une interaction entre perturbation et G en 0 (resp. m) dans le cas grandes dimensions (resp. petites dimensions) apparait. En plus, la négativité de la courbure G (resp. la positivité de la masse m) pour les grandes dimensions (resp. petites dimensions) est suffisant lorsque la perturbation n’a aucun effet. Partie 2 : Dans cette partie, nous travaillons sur l’analyse asymptotique des sous-extrémales explosives. Nous effectuons une analyse de blow-up pour une équation de Hardy-Sobolev. Dans un premier temps, nous obtenons un contrôle ponctuel optimal de la suite de solutions. Dans un second temps, nous obtenons des informations précises sur le point d’explosion en utilisant une identité de Pohozaev. Partie 3 : Nous considérons la meilleure constante dans une inégalité critique de second ordre de Sobolev. Nous montrons la non-rigidité pour les optimiseurs au-dessus d’un certain seuil, à savoir nous prouvons que la meilleure constante est atteinte par une solution non constante du problème elliptique de quatrième ordre sous des conditions limites de type Neumann. Nos arguments reposent sur des estimations asymptotiques du quotient de Rayleigh. Nous montrons également la rigidité en dessous d’un autre seuil pour les solutions de moindre énergie.

In this manuscript, divided into 3 parts, we study the existence of extremal for Hardy-Sobolev inequalities. Part 1: We obtain the (non-)existence of singulars solutions for the perturbative Hardy-Schrödinger equation on a non-smooth domain with the singular point 0 on the boundary of the domain. In particular, we introduce a geometric quantity G which generalizes the mean curvature for ”Large dimensions” and the new notion of the mass in ”Small dimensions”. Our main result is that, in the case of a subcritical perturbation, an interaction appears between the perturbation and G at 0 (resp. m) for large dimensions (resp. small dimensions). In addition, the negativity of the curvature G (resp. the positivity of the mass m) for the large dimensions (resp. small dimensions) is sufficient when the perturbation has no effect. Part 2: In this part, we perform a blow-up analysis of solutions for the Hardy-Sobolev equation of minimizing type. First, we obtain an optimal control of the family of solutions. After, we get specific informations about the blowup point using a Pohozaev identity. Part 3: We consider the best constant in a critical Sobolev inequality of second order. We show non-rigidity for the optimizers above a certain threshold, namely, we prove that the best constant is achieved by a nonconstant solution of the associated fourth order elliptic problem under Neumann boundary conditions. Our arguments rely on asymptotic estimates of the Rayleigh quotient. We also show rigidity below another threshold.