Faisceau automorphe unipotent pour G₂, nombres de Franel, et stratification de Thom-Boardman

Unipotent automorphic sheaf for G₂, Franel numbers, and Thom-Boardman stratification

• Auteur / Autrice : Lizao Ye
• Direction : Sergey Lysenko
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/09/2019
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Schiffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Letellier, Alain Genestier, Jean-François Dat, Gérard Laumon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Schiffmann, Jochen Heinloth

Mots clés

Mots clés contrôlés

Euler-Poincaré, Caractéristique d'

Sommes trigonométriques

Stratifications

Fonctions automorphes

Programme de Langlands

Mots clés libres

Programme de Langlands géométrique

Faisceau automorphe

Orbite unipotente sous-régulière

Sommes trigonométriques équivariantes

Complexe de Rham logarithmique

Variétés toriques

Geometric Langlands program

Automorphic sheaf

Subregular unipotent orbit

Equivariant trigonometric sums

Logarithmic de Rham complex

Toric varieties

Résumé

Dans cette thèse, d’une part, nous généralisons au cas équivariant un résultat de J. Denef et F. Loeser sur les sommes trigonométriques sur un tore ; d’autre part, nous étudions la stratification de Thom-Boardman associée à la multiplication des sections globales des fibrés en droites sur une courbe. Nous montrons une inégalité subtile sur les dimensions de ces strates. Notre motivation vient du programme de Langlands géométrique. En s’appuyant sur les travaux de W. T. Gan, N. Gurevich, D. Jiang et de S. Lysenko, nous proposons, pour le groupe réductif G de type G2, une construction conjecturale du faisceau automorphe dont le paramètre d’Arthur est unipotent et sous-régulier. En utilisant nos deux résultats ci-dessus, nous déterminons les rangs génériques de toutes les composantes isotypiques d’un faisceau S₃-équivariant qui apparaît dans notre conjecture, ce S₃ étant le centralisateur du SL2 sous-régulier dans le groupe dual de Langlands de G.

In this thesis, on the one hand, we generalise to the equivariant case a result of J. Denef and F. Loeser about trigonometric sums on tori ; on the other hand, we study the Thom-Boardman stratification associated to the multiplication of global sections of line bundles on a curve. We prove a subtle inequaliity about the dimensions of these strata. Our motivation comes from the geometric Langlands program. Based on works of W. T. Gan, N. Gurevich, D. Jiang and S. Lysenko, we propose, for the reductive group G of type G2, a conjectural construction of the automorphic sheaf whose Arthur parameter is unipotent and sub-regular. Using our two results above, we determine the generic ranks of all isotypic components of an S3-equivaraint sheaf which appears in our conjecture, this S3 being the centraliser of the sub-regular SL2 inside the Langlands dual group of G.