Développement de solveurs non linéaires robustes pour la méthode des éléments finis appliquée à des problèmes électromagnétiques basses fréquences

Development of robust nonlinear solvers by the finite element method applied to low frequency electromagnetic problems

• Auteur / Autrice : Riheb Cherif
• Direction : Yvonnick Le Menach, Frédéric Guyomarch, Zuqi Tang
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Génie électrique
• Date : Soutenance le 16/12/2019
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'électrotechnique et d'électronique de puissance (L2EP)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matériaux ferromagnétiques

Algorithmes à régions de confiance

Recherche linéaire (optimisation mathématique)

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Maxwell, Équations de

Modélisation tridimensionnelle

Éléments finis, Méthode des

Newton, Méthode de

Modèles mathématiques

Champs électromagnétiques

Mots clés libres

Algorithme Improved starting point (ISP) - Newton

Résumé

Les problèmes électromagnétiques non linéaires sont largement rencontrés en électrotechnique, comme les applications de machines électriques. Le calcul des champs magnétiques nécessite la résolution de problèmes non linéaires dus à la saturation des matériaux ferromagnétiques. La méthode des éléments finis (FEM) est la technique la plus utilisée dans le domaine de modélisation grâce à sa grande précision et à sa robustesse pour résoudre des systèmes aux géométries complexes. La discrétisation de ces problèmes conduit à un grand système d'équations non linéaires qui peuvent être résolus par deux processus itératifs importants: la méthode du point fixe qui est plus robuste, mais peut être très lente vu sa vitesse de convergence linéaire et la méthode de Newton qui a été largement préférée pour résoudre les problèmes de champs non linéaires grâce à sa vitesse de convergence quadratique. Cependant, cette convergence reste locale c'est-à-dire que l'estimation initiale doit être proche de la solution. Ainsi, plusieurs techniques de globalisation sont introduites pour atteindre un niveau acceptable de robustesse. De plus, une itération de Newton peut s'avérer très coûteuse. En effet, elle demande à chaque itération l'évaluation de la matrice jacobienne et la résolution du problème linéarisé impliquant cette dernière matrice. Pour diminuer ces coûts de résolution, plusieurs variantes de cette méthode sont introduites comme les méthodes de Newton-inexactes et les méthodes de Quasi-Newton. Cette thèse a pour but d'implémenter des méthodes numériques mieux adaptées au traitement des problèmes électromagnétiques non linéaires. Ces méthodes seront des versions plus robustes et accélérées des solveurs existants comme les méthodes du type Newton.

Non-linear electromagnetic problems are widely encountered in electrical engineering like applications of electrical machines. The computation of the magnetic fields requires the resolution of nonlinear problems due to the saturation of ferromagnetic materials. The finite element method (FEM) is a widely used numerical technique in the modeling field thanks to its high precision and robustness for solving systems with complex geometries. The discretization of these problems leads to a large system of nonlinear equations that can be solved by two important iterative processes: the fixed point method which is more robust, but can be very slow, due to its linear convergence rate and the Newton method which has been widely preferred for nonlinear field problems, thanks to its quadratic convergence speed. However, this convergence remains local, it means that the initial estimation must be rather close to the solution. Thus, several globalization techniques are introduced to acheive an acceptable level of robustness. In addition, an iteration of Newton can be very expensive. In fact, at each iteration, it requires the evaluation of the Jacobian and the resolution of the linearized problem involving this last matrix. To reduce these resolution costs, several variants of this method are introduced as the Inexact-Newton methods and Quasi-Newton methods.