Études qualitatives de certaines équations de type Schrödinger de la physique mathématique

Qualitative study of some Schrödinger's type equations arising from mathematical physics

• Auteur / Autrice : Abdelwahab Iheb Bensouilah
• Direction : Sahbi Keraani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/11/2019
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Diffusion élastique

Lorentz, Espaces de

Perturbations singulières (mathématiques)

Stabilité

Solitons

Principe de concentration-compacité

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Explosion en temps fini

Concentration de masse

Effet de lissage

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude qualitative des solutions de différentes équations non linéaires de type Schrödinger.Le premier chapitre est consacré à la décomposition en profils dans le cadre de l'équation de Schrödingeravec un potentiel en inverse carré. On montre un théorème de structure sur les suites bornées dans H¹ formées des solutions de l'équation susmentionnée et on l'utilise pour établir la concentration de la masse pour les solutions singulières et pour étudier la stabilité orbitale des ondes stationnaires en régime sous-critique et leur instabilité par explosion en régime critique.Le second chapitre porte sur le phénomène de la diffusion pour l'équation de Schrödinger exponentielle non homogène. On montre un résultat de diffusion pour les solutions globales de l'équation avec un potentiel faisant intervenir un poids singulier en espace (qu'on traite à l'aide des espaces de Lorentz) généralisant ainsi le résultat de diffusion de Ibrahim-Majdoub-Masmoudi-Nakanishi où le terme source était homogène. Enfin, dans le dernier chapitre, on aborde la thématique de la régularité de la partie Duhamel des solutions de l'équation de Schrödinger à masse critique et d'ordre supérieur. En utilisant des espaces fonctionnels basés sur des estimations de Strichrartz multilinéaires et adaptés à la non linéarité cubique, on montre que la solution est somme de la partie linéaire de même régularité que la donnée initiale et de la partie Duhamel plus régulière que cette dernière.

The purpose of this thesis is a quantitative study of solutions to different nonlinear Schrödinger equations. The first chapter is devoted mainly to the profile decomposition adapted to the Schrödinger equation with an inverse-square potential. We prove a structure theorem for bounded sequences of solutions to the aforementioned equation. This will allow us to prove the mass concentration for singular solutions and to establish the orbital stability of standing waves in the sub-critical regime and their instability by blow-up in the critical regime. The second chapter is concerned with the large-time behavior of solutions to the two-dimensional inhomogeneous exponential Schrödinger equation for which we prove that global solutions scatter at infinity. The potential we are considering involves a spatial weight function that we treat using Lorentz spaces, thus making our result a generalization of the scattering result of Ibrahim-Majdoub-Masmoudi-Nakanishi where the source term was homogeneous.In the third and last chapter we deal with the smoothing effect of the high-order mass critical NLS where we prove a theorem about the regularity of the Duhamel part of the solution. The use of a functional space based on the multilinear Strichrartz estimates and adapted to the cubic nonlinearity allows us to prove that the solution is the sum of the linear part with same regularity as the initial data and the Duhamel part more regular than the latter.