Projection au sens de Wasserstein 2 sur des espaces structurés de mesures

Projection in the 2-Wasserstein sense on structured measure space

• Auteur / Autrice : Léo Lebrat
• Direction : Frédéric de Gournay, Jonas Kahn
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 19/12/2019
• Etablissement(s) : Toulouse, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse - Institut de Mathématiques de Toulouse
• Jury : Président / Présidente : Jerome Bolte
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric de Gournay, Jonas Kahn, Bruno Levy, Gabriele Steidl, Filippo Santambrogio, Frank Barthe, Quentin Merigot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Levy, Gabriele Steidl

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transport optimal de mesure

Mesure, Théorie de la

Mots clés libres

Distance de Wasserstein

Optimisation

Théorie de la mesure

Théorie de l’échantillonnage

Blue noise

Projection de courbes

Quantification

Transport optimal

Diagramme de Laguerre

Wasserstein distance

Optimization

Measure theory

Sampling theory

Blue noise

Curve projection

Quantization

Optimal transport

Power diagrams

Résumé

Cette thèse s’intéresse à l’approximation pour la métrique de 2-Wasserstein de mesures de probabilité par une mesure structurée. Les mesures structurées étudiées sont des discrétisations consistantes de mesures portées par des courbes continues à vitesse et à accélération bornées. Nous comparons deux types d’approximations pour ces courbes continues : l’approximation constante par morceaux et linéaire par morceaux. Pour chaque méthode, des algorithmes rapides et fonctionnant pour une discrétisation fine ont été développés. Le problème d’approximation se divise en deux étapes avec leurs propres défis théoriques et algorithmiques : le calcul de la distance de Wasserstein 2 et son optimisation par rapport aux paramètres de structure. Ce travail est initialement motivé par la génération de trajectoires d’IRM en acquisition compressée, toutefois nous donnons de nouvelles applications potentielles pour ces méthodes.

This thesis focuses on the approximation for the 2-Wasserstein metric of probability measures by structured measures. The set of structured measures under consideration is made of consistent discretizations of measures carried by a smooth curve with a bounded speed and acceleration. We compare two different types of approximations of the curve: piecewise constant and piecewise linear. For each of these methods, we develop fast and scalable algorithms to compute the 2-Wasserstein distance between a given measure and the structured measure. The optimization procedure reveals new theoretical and numerical challenges, it consists of two steps: first the computation of the 2-Wasserstein distance, second the optimization of the parameters of structure. This work is initially motivated by the design of trajectories in MRI acquisition, however we provide new applications of these methods.