Stabilité et contrôllabilité de quelques systèmes localement couplés

par Chiraz Kassem

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Stéphane Gerbi, Ali Wehbe et de Kaïs Ammari.

Le président du jury était Kim Dang Phung.

Le jury était composé de Stéphane Gerbi, Ali Wehbe, Kaïs Ammari, Ahmed Bchatnia, Manuel Gonzalez-Burgos, Amina Mortada, Abbes Benaissa.

Les rapporteurs étaient Ahmed Bchatnia, Manuel Gonzalez-Burgos.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité et de la contrôlabilité de quelques systèmes localement couplés.D'abord, nous avons ètudié la stabilisation d’un système de deux équations d'ondes couplées par les termes des vitesses avec un seul amortissement localisé et sous des conditions géométriques appropriées. Pour le cas où les ondes se propageant à la même vitesse, nous avons établi un taux de décroissance exponentielle de l'énergie. Cependant, dans le cas physique naturel où les ondes ne se propagent pas à la même vitesse, nous avons montré que notre système n'est pas uniformément stable et nous avons établi le taux de décroissance polynomial optimal de l'énergie.Après, nous avons traité la contrôlabilité exacte d'un système des équations d’ondes localement couplées. L'outil principal est un résultat de A. Haraux par lequel l'inégalité d'observabilité est équivalente à la stabilité exponentielle. Plus précisément, nous avons fourni une analyse complète de la stabilité exponentielle du système dans deux espaces d'Hilbert différents et sous des conditions géométriques convenables. Ensuite, en utilisant la mèthode HUM, nous avons prouvé que le système est exactement contrôlable. Plus tard, nous avons effectué des études numériques pour valider nos résultats théoriques obtenus.Finalement, nous avons analysé la stabilité d’un système de Bresse avec un amortissement local de type Kelvin-Voight avec des conditions aux bords Dirichlet ou Dirichlet-Neumann-Neumann.Dans le cas de trois amortissements locaux, sous leurs propriétés, nous avons établi un taux de décroissance exponentielle ou polynomiale de l’énergie. Cependant, lorsque les ondes ne sont soumises qu’à un ou deux amortissements et que, dans les conditions aux bords sont de type Dirichlet-Neumann-Neumann, nous avons démontré que le système n’est pas uniformément stable. Dans ce cas, nous avons établi un taux de décroissance polynomiale de l'énergie.Dans cette thèse, la méthode de domaine fréquentielle et la technique du multiplicateur ont été utilisées.

  • Titre traduit

    Stability and controlability of some locally coupled systems.


  • Résumé

    This thesis is devoted to study the stabilization and exact controllability of some locally coupled systems. First, we studied the stabilization of a system of two wave equations coupled by velocities with only one localized damping and under appropriate geometric conditions. For the case involved waves propagating at the same speed, we established the exponential energy decay rate. However, the natural physical case also entails waves that do not propagate with equal speed, in such a case, we showed that our system is not uniformly stable and we established an optimal polynomial energy decay rate.Second, we investigated the exact controllability of locally coupled wave equations. The main tool is a result of A. Haraux by which the observability inequality is equivalent to the exponential stability of the system. More precisely, we provided a complete stability analysis of the system in two different Hilbert spaces and under appropriate geometric conditions. Then, using the HUM method, we proved that the system is exactly controllable. Later, we performed numerical experiments to valid our obtained theoretical results.Last, we analyzed the stability of a Bresse system with local Kelvin-Voight damping with fully Dirichlet or Dirichlet- Neumann-Neumann boundary conditions. Here we trait several cases.In the case of three local damping, according to their properties (smoothness), we established an exponential or a polynomial energy decay rate. However, when the waves are only subjected to one or two damping and under Dirichlet-Neumann-Neumann boundary conditions, we demonstrated that the Bresse system is not uniformly stable. In this case, we established a polynomial energy decay rate.In this thesis, the frequency domain approach and the multiplier technique were used.


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