Courbures de métriques invariantes dans les variétés complexes non compactes

Curvatures of metrics in non-compact complex manifolds

• Auteur / Autrice : Sébastien Gontard
• Direction : Hervé Gaussier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/06/2019
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Sandrine Grellier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Pierre Demailly, Alexandre Sukhov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Peter Ebenfelt, Siqi Fu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés kählériennes

Courbes pseudo-holomorphes

Variétés complexes

Mots clés libres

Métriques invariantes

Variétés complexes

Analyse complexe

Courbures holomorphes

Invariant metrics

Complex manifolds

Complex analysis

Holomorphic curvatures

Résumé

Nous étudions les relations entre des propriétés géométriques et des propriétés métriques dans les domaines de C^n.Plus précisément, nous nous intéressons au comportement des courbures bisectionnelles holomorphes de métriques de Kähler invariantes, la métrique de Bergman et la métrique de Kähler-Einstein, au voisinage du bord des domaines pseudoconvexe bornés à bord lisse.Nous prouvons qu'aux points de stricte pseudoconvexité ou tels que la fonction squeezing du domaine tend vers 1 les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Kähler-Einstein du domaine tendent vers les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Kähler-Einstein de la boule.Nous étudions également les courbures de la métrique de Kähler-Einstein et de la métrique de Bergman dans certains domaines polynomiaux (notamment les domaines tubes et les domaines de Thullen de C^2) qui servent de modèles locaux aux points du bord qui sont de type fini. A partir de ces études nous prouvons qu'en certains points du bord de domaines convexes bornés lisse de type fini dans C^2 il existe un voisinage non tangentiel tel que les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Kâhler-Einstein sont pincées négativement. Nous prouvons également que pour tout domaine pseudoconvexe borné de type fini qui est Reinhardt complet il existe un voisinage du bord relatif au domaine tel que les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Bergman sont comprises entre deux constantes strictement négatives.

We study the relationships between geometric properties and metric properties of domains in C^n.More precisely, we are interested in the behavior of holomorphic bisectional curvatures of invariant Kähler metrics, namely the Bergman metric and the Kähler-Einstein metric, near the boundary of bounded pseudoconvex domains with smooth boundary.We prove that at boundary points that are either strictly pseudoconvex or such that the squeezing function of the domain tends to one the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric of the domain tends to the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric of the ball.We also study the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric and of the Bergman metric in some polynomial domains (namely tube and Thullen domains in C^2) which serve as local models at boundary point of finite type. Using these studies we prove that at certain boundary points of smoothly bounded convex domains of finite type there exists a non tangential neighbourhood such the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric are pinched between two negative constants. We also prove that for every smoothly bounded pseudoconvex complete Reinhardt domain of finite type inf C^2 there exists a neighbourhood of the boundary relative to the domain in which the holomorphic bisectional curvatures of the Bergman metric are pinched between two negative constants.