Non-Local and Stochastic Modeling of Materials with High Property Gradients by Asymptotic Development
Modélisation non-locale et stochastique de matériaux à fort gradient de propriétés par développement asymptotique
Résumé
The aim is to propose a macroscopic, deterministic and non-local model, constructed by scale transition for heterogeneous materials with high property gradients and containing a random distribution of inclusions. More precisely, the inclusions are distributed in an elastic matrix according to a stochastic ergodic process. Several non-local models exist in the literature, but they do not allow (or very little) to obtain non-local quantities and/or fields at the macroscopic scale from a scale-transition. Besides, it is often difficult to link the non-local parameters to the microstructure. To this aim, we developed a two-step approach.In the first stage, we combined the method of asymptotic developments with an energetic approach to reveal a second displacement gradient in the strain energy. The advanced model involves three homogenized elasticity tensors functions of the stochastic parameter and of the phase properties. As opposed to the literature, the model involves two characteristic lengths strongly linked to the microstructure. These lengths define two morphological representative elementary volumes on which full field simulations are performed in order to determine the macroscopic strain tensors at orders 0 and 1 involved in the formulation of the model. In order to test this first version of the model, numerical simulations were performed. The estimate of the classical part of the energy, coming from the local part of the fields, has been successfully compared to classical bounds for a composite bar consisting of a random distribution of two homogeneous and isotropic elastic materials. Then, numerical solving of the whole model including the non-local terms has been performed in the three-dimensional case. Two types of microstructures with increasing morphological complexity were used. The first ones are virtual microstructures generated from a given simple pattern randomly distributed throughout the structure and composed of a big inclusion circled by six identical small ones. The second are real microstructures of Ethylène-Propylène-Diène Monomère (EPDM) obtained by tomography and containing clusters of inclusions with complex structures.In order to obtain a macroscopic model that can be used for structure analysis, without any full field intermediate calculations, a second scale transition has been performed using stochastic variational homogenization tools in the ergodic case. More precisely, the Γ-convergence method has been used in order to have a convergence of energy rather than that of mechanical fields, aiming at keeping a strong microstructural content. In fine, the model is macroscopic, non-local, deterministic and strongly connected to the microstructure. Non-local effects are now accounted for by the presence of the second displacement gradient but also by the presence of the virtual (memory) displacement field of the inclusions. The link with microstructure is still manifest through the presence of the stochastic parameter and phase properties, but also by the presence of the asymptotic fractions of the inclusion phase in the material and in each of the morphological volumes defined by the model characteristic lengths. In order to prepare the use of the model for structure calculations, a non-local finite element enriched with Hermit-type interpolations was implemented in FoXtroT, the finite element solver of the Pprime Institute. This element takes into account the virtual (memory) displacement field related to inclusions as well as the gradients of the macroscopic and virtual displacement fields. The first numerical results on this aspect, to our knowledge never discussed in the literature, are promising.
Le but est de proposer un modèle macroscopique, déterministe et non-local, construit par transition d'échelle pour des matériaux hétérogènes à fort gradient de propriétés, constitués d’inclusions distribuées dans une matrice élastique suivant un processus stochastique ergodique. La méthode des développements asymptotiques, ici étendue dans un cadre aléatoire, est combinée avec une approche énergétique pour faire apparaître le second gradient de déplacement dans l'expression de l'énergie de déformation. Un premier modèle est ainsi obtenu et implique trois tenseurs d'élasticité homogénéisés fonctions du paramètre stochastique et des propriétés des phases. Contrairement à la littérature, il fait intervenir deux longueurs caractéristiques fortement reliées à la microstructure. La mise en œuvre numérique est réalisée pour deux types de microstructures tridimensionnelles de complexité morphologique croissante. Les premières sont virtuelles générées à partir d'un motif simple (une inclusion entourée de six petites) distribué aléatoirement. Les secondes sont des microstructures réelles d'Ethylène-Propylène-Diène Monomère obtenues par tomographie, contenant des clusters d'inclusions de structures complexes.Une seconde transition d'échelle à l'aide d'outils d'homogénéisation variationnelle stochastique dans le cas ergodique est réalisée afin d’obtenir un modèle homogène, exploitable en calculs de structures. Le passage à la limite sur le paramètre d’hétérogénéité émanant du développement asymptotique précédent est ainsi effectué par la méthode de Γ-convergence avec pour objectif de conserver un maximum d'information microstructurale. In fine, le modèle obtenu est macroscopique, non-local, déterministe et richement connecté à la microstructure. La non-localité s'exprime non seulement par le second gradient de déplacement mais aussi par la présence du champ de déplacement virtuel (mémoire) des inclusions. Le lien fort avec la microstructure s'exprime toujours par la présence du paramètre stochastique et des propriétés des phases, mais aussi par celle des fractions asymptotiques de la phase inclusionaire dans le matériau et dans les volumes morphologiques définis par les longueurs caractéristiques intervenant dans le modèle.Pour une future utilisation pratique du modèle, un élément fini non-local et enrichi avec des interpolations de type Hermite est implémenté dans le solveur élément fini FoXtroT de l'Institut Pprime. Il prend en compte le champ de déplacement virtuel (mémoire) des inclusions et les gradients des champs de déplacement macroscopique et virtuel. Les premiers résultats sur cet aspect inédit sont encourageants.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)
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