Contrôlabilité de systèmes de réaction-diffusion non linéaires

Controllability of nonlinear reaction-diffusion sytems

• Auteur / Autrice : Kévin Le Balc'h
• Direction : Karine Beauchard, Michel Pierre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/06/2019
• Etablissement(s) : Rennes, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Université de Rennes - École normale supérieure - Rennes - Institut de Recherche Mathématique de Rennes / IRMAR
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Benabdallah Assia, Jean-Michel Coron, Sylvain Ervedoza, Sergio Guerrero Rodriguez
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Enrique Fernández-Cara, Marius Tucsnak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du contrôle

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Théorie du contrôle

Equations aux dérivées partielles

Non linéaire

Systèmes paraboliques

Control theory

Partial differential equation

Nonlinear

Parabolic systems

Résumé

Cette thèse est consacrée au contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. On s’intéresse notamment à des systèmes paraboliques de réaction-diffusion non linéaires issus de la cinétique chimique. L’objectif principal est de démontrer des résultats de contrôlabilité locale ou globale, en temps petit, ou en temps grand.Dans une première partie, on démontre un résultat de contrôlabilité locale à des états stationnaires positifs en temps petit, pour un système de réaction-diffusion non linéaire.Dans une deuxième partie, on résout une question de contrôlabilité globale à zéro en temps petit pour un système 2 × 2 de réaction-diffusion non linéaire avec un couplage impair.La troisième partie est consacrée au célèbre problème ouvert d’Enrique Fernández-Cara et d’Enrique Zuazua des années 2000 concernant la contrôlabilité globale à zéro de l’équation de la chaleur faiblement non linéaire. On démontre un résultat de contrôlabilité globale à états positifs en temps petit et un résultat de contrôlabilité globale à zéro en temps long.La dernière partie, rédigée en collaboration avec Karine Beauchard et Armand Koenig, est une incursion vers l’hyperbolique. On étudie des systèmes linéaires à coefficients constants, couplant une dynamique transport avec une dynamique parabolique. On identifie leur temps minimal de contrôle et l’influence de leur structure algébrique sur leurs propriétés de contrôle.

This thesis is devoted to the control of nonlinear partial differential equations. We are mostly interested in nonlinear parabolic reaction-diffusion systems in reaction kinetics. Our main goal is to prove local or global controllability results in small time or in large time.In a first part, we prove a local controllability result to nonnegative stationary states in small time, for a nonlinear reaction-diffusion system.In a second part, we solve a question concerning the global null-controllability in small time for a 2 × 2 nonlinear reaction-diffusion system with an odd coupling term.The third part focuses on the famous open problem due to Enrique Fernndez-Cara and Enrique Zuazua in 2000, concerning the global null-controllability of the weak semi-linear heat equation. We show that the equation is globally nonnegative controllable in small time and globally null-controllable in large time.The last part, which is a joint work with Karine Beauchard and Armand Koenig, enters the hyperbolic world. We study linear parabolic-transport systems with constant coeffcients. We identify their minimal time of control and the influence of their algebraic structure on the controllability properties.