Vitesse de convergence de l'échantillonneur de Gibbs appliqué à des modèles de la physique statistique

par Amine Helali

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Brice Franke et de Mondher Damak.

Soutenue le 11-01-2019

à Brest en cotutelle avec l'University of Sfax , dans le cadre de École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique (laboratoire) .

Le président du jury était Arnaud Le Ny.

Le jury était composé de Brice Franke, Mondher Damak, Arnaud Le Ny, Nabila Torki-Hamza, Catherine Rainer, Matthias Löwe.

Les rapporteurs étaient Arnaud Le Ny, Nabila Torki-Hamza.

mots clés

• Méthode de Monte Carlo par chaine de Markov
• Vitesse de convergence
• Échantillonneur de Gibbs
• Modèle d'Ising
• Modèle de Potts
• Systèmes de treillis
• Permutation
• Physique statistique
• Analyse numérique -- Accélération de la convergence
• Markov, Processus de
• Gibbs, Mesures de

Résumé

Les méthodes de Monte Carlo par chaines de Markov MCMC sont des outils mathématiques utilisés pour simuler des mesures de probabilités π définies sur des espaces de grandes dimensions. Une des questions les plus importantes dans ce contexte est de savoir à quelle vitesse converge la chaine de Markov P vers la mesure invariante π. Pour mesurer la vitesse de convergence de la chaine de Markov P vers sa mesure invariante π nous utilisons la distance de la variation totale. Il est bien connu que la vitesse de convergence d’une chaine de Markov réversible P dépend de la deuxième plus grande valeur propre en valeur absolue de la matrice P notée β!. Une partie importante dans l’estimation de β! consiste à estimer la deuxième plus grande valeur propre de la matrice P, qui est notée β1. Diaconis et Stroock (1991) ont introduit une méthode basée sur l’inégalité de Poincaré pour estimer β1 pour le cas général des chaines de Markov réversibles avec un nombre fini d'état. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Shiu et Chen (2015) pour étudier le cas de l'algorithme de l'échantillonneur de Gibbs pour le modèle d'Ising unidimensionnel avec trois états ou plus appelé aussi modèle de Potts. Puis, nous généralisons le résultat de Shiu et Chen au cas du modèle d’Ising deux- dimensionnel avec deux états. Les résultats obtenus minorent ceux introduits par Ingrassia (1994). Puis nous avons pensé à perturber l'échantillonneur de Gibbs afin d’améliorer sa vitesse de convergence vers l'équilibre.

mots clés

• Markov chain Monte Carlo
• Rate of convergence
• Gibbs sampler
• Ising model
• Potts model
• Lattice systems
• Permutation

Titre traduit

The convergence rate of the Gibbs sampler for some statistical mechanics models

Résumé

Monte Carlo Markov chain methods MCMC are mathematical tools used to simulate probability measures π defined on state spaces of high dimensions. The speed of convergence of this Markov chain X to its invariant state π is a natural question to study in this context.To measure the convergence rate of a Markov chain we use the total variation distance. It is well known that the convergence rate of a reversible Markov chain depends on its second largest eigenvalue in absolute value denoted by β!. An important part in the estimation of β! is the estimation of the second largest eigenvalue which is denoted by β1.Diaconis and Stroock (1991) introduced a method based on Poincaré inequality to obtain a bound for β1 for general finite state reversible Markov chains.In this thesis we use the Chen and Shiu approach to study the case of the Gibbs sampler for the 1−D Ising model with three and more states which is also called Potts model. Then, we generalize the result of Shiu and Chen (2015) to the case of the 2−D Ising model with two states.The results we obtain improve the ones obtained by Ingrassia (1994). Then, we introduce some method to disrupt the Gibbs sampler in order to improve its convergence rate to equilibrium.