Points conjugués des tores lorentziens

Conjugate points on lorentzian tori

• Auteur / Autrice : Lilia Mehidi
• Direction : Christophe Bavard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 02/12/2019
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Schlenker
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Bavard, Thierry Barbot, Laurent Bessières, Pierre Mounoud
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Abdelghani Zeghib, Francesco Bonsante

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lorentz, Espaces de

Complétude, Théorème de

Espaces métriques

Mots clés libres

Points conjugués

Équation de Jacobi

Champ de Killing

Extensions universelles

Complétude

Espace des métriques lorentziennes

Conjugate points

Jacobi equation

Killing field

Universal extensions

Completeness

Space of lorentzian metrics

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous donnons une description des surfaces lorentziennes simplement connexes et maximales dont le groupe d’isométries est de dimension 1 (c’est-à-dire possédant un champ de Killing complet), à l’aide d’une variété riemannienne de dimension 1 (généralement non séparée) et d’une fonction lisse définie dessus ; nous étudions ensuite la complétude géodésique de telles surfaces. Dans la deuxième partie qui est la partie principale de cette thèse, nous donnons une infinité de nouveaux exemples de surfaces lorentziennes compactes sans points conjugués. De plus, nous étudions l’existence et la stabilité de cette propriété parmi les métriques lorentziennes admettant un champ de Killing. Nous obtenons une nouvelle obstruction et prouvons que le tore de Clifton-Pohl et certains de nos exemples sont aussi stables que possible. Cela montre que, contrairement au théorème de Hopf riemannien, l’absence de points conjugués dans le cadre de Lorentzian n’est ni ''spéciale'' ni rigide.

In the first part of this thesis, we give a description of simply connected maximal Lorentzian surfaces whose group of isometries is of dimension 1 (i.e. with a complete Killing field), in terms of a 1-dimensional generally non-Hausdorff Riemannian manifold and a smooth function defined there. Next, we study the geodesic completeness of such surfaces. In the second part which is the main part of this thesis, we give infinitely many new examples of compact Lorentzian surfaces without conjugate points. Further, we study the existence and the stability of this property among Lorentzian metrics with a Killing field. We obtain a new obstruction and prove that the Clifton- Pohl torus and some of our examples are as stable as possible. This shows that in constrast with the Riemannian Hopf theorem, the absence of conjugate points in the Lorentzian setting is neither ''special'' nor rigid.