Méthodes d'analyse fonctionnelle pour des systèmes de dimension infinie issus de la dynamique de populations

Functional analysis methods for infinite dimensional systems coming from population dynamics

• Auteur / Autrice : Nicolas Hegoburu
• Direction : Marius Tucsnak, Pierre Magal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 07/05/2019
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Bedr'Eddine Ainseba
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marius Tucsnak, Pierre Magal, Emmanuel Trélat, Nicolas Meunier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Perasso, Franck Boyer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles non linéaires

Modèles mathématiques

Répartition par âge (démographie)

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Contrôlabilité

Dynamiques des Populations

Positivité

Structure en âge

Controllability

Population dynamics

Nonnegativity

Age structuring

Résumé

Cette thèse étudie les propriétés de contrôle par migration d’équations aux dérivées partielles modélisant la dynamique d’une population structurée en âge. Les équations de populations considérées seront essentiellement celles décrites par Lotka et McKendrick, en tenant compte ou non de la diffusion spatiale des individus, ainsi que leur pendant non-linéaire décrit par les équations de Gurtin et MacCamy. La première partie étudie les propriétés de contrôlabilité interne des équations linéaires de Lotka et McKendrick (sans diffusion), lorsque le contrôle n’agit que pour les jeunes individus formant la population. La contrôlabilité à zéro ainsi que la contrôlabilité vers les solutions stationnaires du système considéré est démontrée, en utilisant les propriétés du semi-groupe associé à l’opérateur de population originellement étudié par Song (contrôleur supposé responsable de la radicalisation de la politique de l’enfant unique en Chine). En outre, la conservation au cours du temps de la positivité de la densité de population contrôlée est étudiée. Les deux parties suivantes établissent respectivement des propriétés de contrôle à zéro et de contrôle en temps optimal pour l’équation de Lotka et McKendrick, lorsque le déplacement spatial des individus est considéré (ici, le contrôle agit pour tous les âges mais seulement dans une certaine zone du milieu considéré). Les méthodes employées relèvent d’une adaptation de celles originellement développées pour le contrôle d’équations paraboliques, notamment la méthode de Lebeau et Robbiano (pour l’étude du contrôle à zéro de l’équation de la chaleur), ainsi que leur généralisation développée par Wang pour l’étude du contrôle en temps optimal de l’équation de la chaleur. Une dernière partie étudie les propriétés de contrôlabilité des équations non-linéaires de Gurtin et MacCamy (sans diffusion), lorsque le contrôle est voué à n’agir que pour une certaine tranche d’âge d’individus. L’utilisation de principes de comparaison en dynamique de populations permet notamment d’obtenir le contrôle à zéro des équations considérées.

This work is devoted to study the controllability properties of some infinite dimensional systems modeling an age structured population dynamics. The considered equations are essentially those described by Lotka and McKendrick, with or without spatial diffusion, and their nonlinear versions described by the Gurtin and MacCamy equations. The first part of this thesis aims to study the controllability properties of the linear Lotka and McKendrick system (without diffusion), in the case when the control acts for the very young individuals. The null controllability and the controllability towards the stationnary solutions of the considered system are established, using a semigroup approach. In addition, the nonnegativity of the controlled population dynamics is studied. The next two parts are respectively devoted to establish a null controllability result and a time optimal control result for the Lotka McKendrick equation with spatial diffusion (here, the control acts for every ages but only on a subdomain of the considered spatial domain). The methods employed are those originally devoted to study the internal controllability properties of the heat equation. A last part studies the controllability properties of the Gurtin and MacCamy nonlinear equations (without diffuion), when the control acts only in an arbitrary age range. In this case, the use of comparison principles in age structured population dynamics ensures the null controllability of the considered equations.