Stratégies de jeux pour quelques problèmes inverses

Résumé

L’objectif de ce travail de thèse est la résolution du problème de couplage de complétion des données et identification des paramètres. Le problème de Cauchy est un problème de détermination des mesures sur une partie inaccessible du bord d’un solide à partir des données surabondantes sur le bord. L’identification des paramètres est un problème de détermination du paramètre de système. Ces deux problèmes sont connus pour être mal posés au sens d’Hadamard. Le mémoire de thèse se divise en quatre parties. La première partie est consacrée à une étude bibliographique. Dans le deuxième chapitre, nous avons appliqué la théorie des jeux pour la résolution du problème de couplage de complétion des données et identification de conductivité en électrocardiographie. On a évoqué la question d ’identifiabilité de la conductivité. On a montré l’unicité de ce paramètre en utilisant seulement les données de Cauchy sur une partie du bord. Nos expériences numériques ciblent les applications médicales en électrocardiographie. Nous avons appliqué notre procédure dans un thorax bidimensionnel et tridimensionnel. La troisième partie est consacré à la résolution du problème de couplage en élasticité linéaire en appliquant la stratégie des jeux. Une étude numérique a été effectué où on a considéré une configuration particulière pour assurer l’identifiabilité des paramètres. Dans la dernière partie, on s’intéresse à un problème de thermoélasticité. Il s’agit de coupler deux disciplines différentes, la thermique et l’élasticité. Le problème de l’identification de fissure est une application naturelle dans ce cas.

mots clés

Titre traduit

Game strategies for some inverse problems
Résumé

In this PHD-Thesis, we focused on solving the coupling problem of data completion and parameter identification. The Cauchy problem is a problem of identification of boundary condition on a part of the boundary from overabundant data on the remaining part. Parameter identification is a problem of the system parameter. These two problems are known to be ill-posed in the sense of Hadamard. This Thesis is divided into four parts. The first part is dedicated to a bibliography study. In the second chapter, we applied the game theory on the resolution of the coupling problem of data completion and the conductivity identification in electrocardiography. We talked about the identifiability of the conductivity. We have shown the uniqueness of this parameter using only the Cauchy data on a part of the edge. Our numerical experiments target medical applications in electrocardiography. We applied our procedure in a two-dimensional and three-dimensional thorax. The third part is dedicated to the resolution of the coupling problem in linear elasticity applying the game theory. A numerical study has been done where we considered a particular configuration to ensure the parameters identifiability. In the last part, we are interested in a problem of thermoelasticity. It’s about coupling two different disciplines : thermal and elasticity. The problem of crack identification is a natural application in this case.