Thèse soutenue

Confluence of quantum K-theory to quantum cohomology for projective spaces

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Auteur / Autrice : Alexis Roquefeuil
Direction : Etienne Mann
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 20/09/2019
Etablissement(s) : Angers
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
Jury : Président / Présidente : Nicolas Perrin
Examinateurs / Examinatrices : Lucia Di Vizio, Pierre-Emmanuel Chaput
Rapporteurs / Rapporteuses : Todor Milanov, Julien Roques

Résumé

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En géométrie algébrique, les invariants de Gromov—Witten sont des invariants énumératifs qui comptent le nombre de courbes complexes dans une variété projective lisse qui vérifient des conditions d’incidence. En 2001, A. Givental et Y.P. Lee ont défini de nouveaux invariants, dits de Gromov—Witten K-théoriques, en remplaçant les définitions cohomologiques dans la construction des invariants de Gromov—Witten par leurs analogues K-théoriques. Une question essentielle est de comprendre comment sont reliées ces deux théories. En 2013, Iritani- Givental-Milanov-Tonita démontrent que les invariants K-théoriques peuvent être encodés dans une fonction qui vérifie des équations aux q-différences. En général, ces équations fonctionnelles vérifient une propriété appelée “confluence”, selon laquelle on peut dégénérer ces équations pour obtenir une équationdifférentielle. Dans cette thèse, on propose de comparer les deux théories de Gromov— Witten à l’aide de la confluence des équations aux q-différences. On montre que, dans le cas des espaces projectifs complexes, que ce principe s’adapte et que les invariants Kthéoriques peuvent être dégénérés pour obtenir leurs analogues cohomologiques. Plus précisément, on montre que la confluence de la petite fonction J de Givental K-théorique permet de retrouver son analogue cohomologique après une transformation par le caractère de Chern.