Thèse soutenue

Étude théorique et numérique de l'EDP de Black-Scholes non linéaire en présence des coûts de transaction

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Auteur / Autrice : Aicha Driouch
Direction : Olivier GoubetHassan Al MoatassimeMostafa Abounouh
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 05/07/2019
Etablissement(s) : Amiens en cotutelle avec Université Cadi Ayyad (Marrakech, Maroc)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
Jury : Président / Présidente : Ali Souissi
Examinateurs / Examinatrices : Olivier Goubet, Hassan Al Moatassime, Mostafa Abounouh, Serge Dumont, Rajae Aboulaich, Morgan Pierre
Rapporteurs / Rapporteuses : Serge Dumont, Rajae Aboulaich

Résumé

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Les modèles mathématiques non linéaires de Black-Scholes sont des modèles qui permettent de valoriser le coût d'une option Européenne en tenant compte d'hypothèses plus réalistes sur les marchés financiers que les modèles classiques linéaires. La contribution de cette thèse ne concerne pas l'étude de l'équation différentielle stochastique, mais l'étude d'un problème limite obtenu par G. Barles et H. Soner. Ce problème limite est une équation aux dérivées partielles déterministe fortement non linéaire de type parabolique dégénérée. Le coeur de la thèse est l’étude à la fois théorique et numérique de cette EDP déterministe. L'analyse théorique du modèle déterministe de G. Barles et H. Soner a été réalisée à l’aide d’une approche récente qui consiste à faire un changement de variable afin de placer le problème dans le cadre des équations de type Barenblatt de la forme (β(u_t)=Δu) où β est une fonction monotone. D'une part, nous avons étudié le problème avec des méthodes standard (utilisant la monotonie du système), plutôt que la théorie des solutions de viscosité. Nous avons également développé une méthode multigrille (en variable d'espace) afin de simuler numériquement la solution du problème de Barles et Soner en un temps raisonnable. Le gain attendu est une simulation numérique moins coûteuse en temps que les méthodes itératives de résolution numérique standard de type Gauss-Seidel. D'autre part, nous avons développé un modèle bidimensionnel pour une option panier en présence des coûts de transaction. Bien que ce produit financier soit simple. Il n'en demeure pas moins que cet instrument est complexe. En effet, comme pour la majorité des options multi-dimensionnelles, les équations modélisant les options paniers n'ont pas de solution analytique même dans le cas linéaire. Nous devons donc recourir à des méthodes numériques, mais l'efficacité de ces dernières est sensible à la dimension de l’espace. D'où l'intérêt de l'application de la méthode multi-grille