Thèse soutenue

Étude homotopique des espaces stratifiés

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Sylvain Douteau
Direction : David Chataur
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 04/07/2019
Etablissement(s) : Amiens
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Chataur, Kathryn Hess Bellwald, Bertrand Toën, Muriel Livernet, Ivan Marin, Geoffrey Powell, Jonathan Woolf, Serge Bouc
Rapporteurs / Rapporteuses : Kathryn Hess Bellwald, Bertrand Toën

Mots clés

FR  |  
EN

Résumé

FR  |  
EN

Un espace stratifié est un espace topologique découpé en strates, correspondant à une partition de l'espace selon le type des singularités. De tels espaces apparaissent en topologie et en géométrie, où ils généralisent la notion de variété. L'étude des espaces stratifiés, passe par le calcul d'invariants tels que la cohomologie d'intersection. Ceux-ci ne sont pas invariants par homotopies, et dépendent en général de la stratification. Néanmoins, ils sont invariants par homotopies stratifiées. Dans cette thèse, on étudie la théorie homotopique des espaces stratifiés relative à cette notion d'homotopie stratifiée. Ceci passe par la construction de catégories modèles pour les espaces stratifiés, et par leur caractérisation par des invariants d'homotopie stratifiée, les groupes d'homotopie filtrés. On commence notre étude par l'étude du cas où l'ensemble de strates est fixé, c'est le contexte filtré. On définit la catégorie modèle des ensembles simpliciaux filtrés. On montre qu'elle admet une description "à la Kan" et on y caractérise les équivalences faibles via les groupes d'homotopie filtrés. On en déduit une version filtrée du théorème de Whitehead. On construit ensuite une catégorie modèle pour les espaces filtrés. Les équivalences faibles y sont les morphismes induisant des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie filtrés et les fibrations vérifient une version filtrée de la condition de Serre. On montre que celle-ci est Quillen-équivalente à une catégorie de diagrammes d'ensembles simpliciaux. On entreprend ensuite de comparer les catégories modèles des ensembles simpliciaux filtrés et des espaces filtrés. Celles-ci sont liées par une adjonction de Quillen dont on conjecture qu'il s'agit d'une équivalence de Quillen. Finalement, on construit des structures de modèle sur les catégories des espaces stratifiés et des ensembles simpliciaux stratifiés, et on montre qu'elles sont liées par une adjonction qui préserve les équivalences faibles